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    25、已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF．
    （1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；
    （2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
    （3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．
    分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．
    （2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=BF且DF⊥BF．
    （3）延长BF至点G，使FG=BF，连接DB，DG，GE，可证明△EFG≌△CFB，得到EG=CB，∠EGF=∠CBF，继而求得△DAB≌△DEG，得到DG=DB，∠ADB=∠EDG，所以∠BDG=∠ADE=90°，可得DF=BF且DF⊥BF．
    解答：解：（1）DF=BF且DF⊥BF．（1分）
    证明：如图1：
    ∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，
    ∴∠CDE=90°，∠AED=∠ACB=45°，
    ∵F为CE的中点，
    ∴DF=EF=CF=BF，
    ∴DF=BF；（2分）
    ∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，
    ∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，
    即：∠DFB=90°，
    ∴DF⊥BF．（3分）

    （2）仍然成立．
    证明：如图2，延长DF交BC于点G，
    ∵∠ABC=∠ADE=90°，
    ∴DE∥BC，
    ∴∠DEF=∠GCF，
    又∵EF=CF，∠DFE=∠GFC，
    ∴△DEF≌△GCF，
    ∴DE=CG，DF=FG，（4分）
    ∵AD=DE，AB=BC，
    ∴AD=CG，
    ∴BD=BG，（5分）
    又∵∠ABC=90°，
    ∴DF=BF且DF⊥BF．（6分）

    （3）仍然成立．证明：如图3，延长BF至点G，使FG=BF，连接DB、DG、GE，
    ∵EF=CF，∠EFG=∠CFB，
    ∴△EFG≌△CFB，
    ∴EG=CB，∠EGF=∠CBF，
    ∴EG∥CB，
    ∵AB=BC，AB⊥CB，
    ∴EG=AB，EG⊥AB，
    在△ADM和△EMN中，
    ∵∠ADE=90°，EG⊥AB，
    又∵∠AMD=∠EMN，
    ∴∠DAB=∠DGE，
    ∴△DAB≌△DEG，
    ∴DG=DB，∠ADB=∠EDG，（7分）
    ∴∠BDG=∠ADE=90°，
    ∴△BGD为等腰直角三角形，
    ∴DF=BF且DF⊥BF．（8分）
    点评：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM．当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），连接DM，可得结论：DC=
    		2
    CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，当点D在AC上（如图二）或当点E在BA的延长线上（如图三）时，请你猜想DC与CM有怎样的数量关系，并选择一种情况加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．如图（1），易证AD=CE且AD⊥CE．
    （1）将△DBE绕点B顺时针旋转至图（2）的位置时，线段AD和CE有怎样的关系？
    （2）将△DBE绕点B逆时针旋转至图（3）的位置时，线段AD和CE又有怎样的关系？
    请直接写出你的猜想，并选择其一加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上．求证：BE=AD．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图（1），已知在△ABC和△DEF中，AB=EF，∠B=∠E，EC=BD
    （1）说明△ABC≌△FED的理由；
    （2）若图形经过平移和旋转后得到图（2），且有∠EDB=25°，∠A=66°，试求∠AMD的度数；
    （3）将图形继续旋转后得到图（3），此时D、B、F三点在同一条直线上，若DB=2DF，连接EB，已知△EFB的面积为4cm2，那么四边形ABED的面积=
    12
    12
    cm2．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    6、已知，△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，要判定△ABC≌△A'B'C'可以添加条件
    AB=A′B′
    或
    ∠A=∠A′
    或
    ∠B=∠B′
    或
    BC=B′C′
    ．

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