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几何模型:

条件:如下左图,是直线同旁的两个定点.

问题:在直线上确定一点,使的值最小.

方法:作点关于直线的对称点,连结于点,则的值最小(不必证明).

模型应用:

(1)如图1,正方形的边长为2,的中点,上一动点.连结,由正方形对称性可知,关于直线对称.连结,则的最小值是___________

(2)如图2,的半径为2,点上,上一动点,求的最小值;

(3)如图3,内一点,分别是上的动点,求周长的最小值.

 


解:(1)

(2)延长AO交⊙o于点D,连接CD交OB于P

则PA=PD,PA+PC=PC+PD=CD

连接AC,∵AD为直径,∴∠ACD=90°,AD=4

∵∠AOC=60°,∴∠ADC=30°

在Rt△ACD中,CD=cos30°?AD=,即PA+PC的最小值为

(3)解:分别作点P关于OA,OB的对称点E,F,连接EF交OA,OB于R,Q,

则△PRQ的周长为:EF

∵OP=OE=OF=10, ∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,

∵∠AOB=45°, ∴∠EOF=90°

在Rt△EOF中,∵OE=OF=10,∴EF=10,即△PRQ的周长最小值为10

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

几何模型:
条件:如下图,A、B是直线l同旁的两个定点.
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问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是
 

(2)如图2,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;
(3)如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网几何模型:条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′P+PB=A′B,
由“两点之间,线段最短”可知,点P即为所求的点.
模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.则PB+PE的最小值是
 

(2)如图2,∠AOB=45°,P是∠AOB内一定点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.(要求画出示意图,写出解题过程)
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科目:初中数学 来源: 题型:

几何模型:
条件:如图,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是
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(2)如图2,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;
(3)如图3,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,求PA+PC的最小值.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读理解题:
【几何模型】
条件:如图1,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′P+PB=A′B,
由“两点之间,线段最短”可知,点P即为所求的点.

【模型应用】
如图2所示,两个村子A、B在一条河CD的同侧,A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂,向A、B两村送水,铺设水管的工程费用为每千米15000元,请你在CD上选择水厂位置,使铺设水管的费用最省,并求出最省的铺设水管的费用W.

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科目:初中数学 来源: 题型:

几何模型:
条件:如图1,A、B是直线l同旁的两个定点.

问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图2,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是
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(2)如图3,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值是
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(3)如图4,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=5,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.

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