Question

9．如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0）和B（6，0），与y轴交于点C（0，3$\sqrt{2}$）．

（1）求此抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）连结BC、BD、CD，求证：△BCD是直角三角形；
（3）过点B作射线BM∥CD，E是线段BC上的动点，设BE=t．作EF⊥BC交射线BM于点F，连结CF，．
①当△ECF与△DCB相似时，求出t的值；
②记S=S_△ECF-S_△EBF，请直接写出S取到最大值时t 的值．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+2）（x-6），再把C点坐标代入求出a=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，则可得到抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\sqrt{2}$x+3$\sqrt{2}$，然后把解析式配成顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出CD=$\sqrt{6}$，BD=4$\sqrt{3}$，BC=3$\sqrt{6}$，再利用勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
（3）①利用BM∥CD可得∠DBM=90°，再利用等角的余角相等得到∠DBC=∠EFB，然后根据相似三角形的判定方法得到△EBF∽△DCB；由于△EBF∽△DCB，则利用相似比可计算出EF=2$\sqrt{2}$t，然后分类讨论：当△EFC∽△DCB时，$\frac{EF}{DC}$=$\frac{EC}{DB}$，即 $\frac{2\sqrt{2}t}{\sqrt{6}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{4\sqrt{3}}$；当△EFC∽△DBC时，$\frac{EF}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{4\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{\sqrt{6}}$，再分别利用比例性质求出t即可；
②利用三角形面积公式得到S=S_△ECF-S_△EBF=$\frac{1}{2}$EF（CE-BE）=-2$\sqrt{2}$t²+6$\sqrt{3}$t，利用二次函数的性质，当t=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$时，S取最大值．

解答 （1）解：设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-6），
把C（0，3$\sqrt{2}$）代入得a•2•（-6）=3$\sqrt{2}$，
解得a=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x+2）（x-6），即y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\sqrt{2}$x+3$\sqrt{2}$，
∵y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-2）²+4$\sqrt{2}$，
∴顶点D的坐标为（2，4$\sqrt{2}$）；

（2）证明：如图1，

∵B（6，0），C（0，3$\sqrt{2}$），D（2，4$\sqrt{2}$），
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（4\sqrt{2}-3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，BD=$\sqrt{（2-6）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{6}$，
∵（$\sqrt{6}$）²+（4$\sqrt{3}$）²=（3$\sqrt{6}$）²，
∴CD²+BD²=BC²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°；

（3）①证明：如图2，

∵BM∥CD，
而∠BDC=90°，
∴∠DBM=90°，
即∠DBC+∠FBC=90°，
∵FE⊥BC，
∴∠FBE+∠EFB=90°，
∴∠DBC=∠EFB，
而∠BDC=∠FEB，
∴△EBF∽△DCB；

∵△EBF∽△DCB，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{BE}{CD}$，即$\frac{EF}{4\sqrt{3}}$=$\frac{t}{\sqrt{6}}$，解得EF=2$\sqrt{2}$t，
当△EFC∽△DCB时，$\frac{EF}{DC}$=$\frac{EC}{DB}$，即 $\frac{2\sqrt{2}t}{\sqrt{6}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{4\sqrt{3}}$，解得t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
当△EFC∽△DBC时，$\frac{EF}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{4\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{\sqrt{6}}$，解得t=$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$．
综上所述，t的值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$或$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$；
②解：S=S_△ECF-S_△EBF=•CE•EF-BE•EF=EF（CE-BE）=•2$\sqrt{2}$t•（3$\sqrt{6}$-t-t）=-2$\sqrt{2}$t²+6$\sqrt{3}$t，当t=-$\frac{6\sqrt{3}}{2×（-2\sqrt{2}）}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$时，S取最大值．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会用待定系数法求抛物线解析式；能运用勾股定理的逆定理证明直角三角形；理解坐标与图形性质，能利用两点间的距离公式计算线段的长和运用相似比计算线段的长．