Question

2．如图，已知直线y=2x分别与双曲线y=$\frac{8}{x}$，y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于P、Q两点，且OP=2OQ，点A是双曲线y=$\frac{8}{x}$上的动点，过A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于点B、C．连接BC．

（1）求k的值；
（2）随着点A的运动，△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积，若改变，请说明理由．
（3）直线y=2x上是否存在点D，使得点A、B、C、D为顶点的四边平行四边形？若能，求出相应点A的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点P的坐标，再从条件OP=2OQ出发，构造相似三角形，求出点Q的坐标，就可求出k的值．
（2）设点A的坐标为（a，b），易得b=$\frac{8}{a}$，结合条件可用a的代数式表示点B、点C的坐标，进而表示出线段AB、AC的长，就可算出△BAC的面积是一个定值．
（3）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形可分成两类：①AC为平行四边形的一边，②AC为平行四边形的对角线；然后利用平行四边形的性质建立关于a的方程，即可求出a的值，从而求出点A的坐标．

解答 解：（1）过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=2x\\ y=\frac{8}{x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-4\end{array}\right.$．
∵x＞0，
∴点P的坐标为（2，4）．
∴OF=2，PF=4．
∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴QE∥PF．
∴△OEQ∽△OFP．
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{EQ}{FP}$=$\frac{OQ}{OP}$．
∵OP=2OQ，
∴OF=2OE=2，PF=2EQ=4．
∴OE=1，EQ=2．
∴点Q的坐标为（1，2）．
∵点Q（1，2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×2=2．
∴k的值为2；

（2）如图2，
设点A的坐标为（a，b），
∵点A（a，b）在双曲线y=$\frac{8}{x}$上，
∴b=$\frac{8}{a}$．
∵．AB∥x轴，AC∥y轴，
∴x_C=x_A=a，y_B=y_A=b=$\frac{8}{a}$．
∵点B、C在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴x_B=$\frac{2}{\frac{8}{a}}$=$\frac{a}{4}$，y_C=$\frac{2}{a}$．
∴点B的坐标为（$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$），点C的坐标为（a，$\frac{2}{a}$）．
∴AB=a-$\frac{a}{4}$=$\frac{3}{4}$a，AC=$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$=$\frac{6}{a}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3a}{4}$×$\frac{6}{a}$=$\frac{9}{4}$．
∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于$\frac{9}{4}$．

（3）①AC为平行四边形的一边，
Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴AC∥BD，AC=BD．
∴x_D=x_B=$\frac{a}{4}$．
∴y_D=2x_D=$\frac{a}{2}$．
∴DB=$\frac{a}{2}$-$\frac{8}{a}$．
∵AC=$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$=$\frac{6}{a}$，
∴$\frac{6}{a}$=$\frac{a}{2}$-$\frac{8}{a}$．
解得：a=±2$\sqrt{7}$．
经检验：a=±2$\sqrt{7}$是该方程的解．
∵a＞0，
∴a=2$\sqrt{7}$．
∴b=$\frac{8}{a}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
∴点A的坐标为（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）．
Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4，
∵四边形ACDB是平行四边形，
∴AC∥BD，AC=BD．
∴x_D=x_B=$\frac{4}{a}$．
∴y_D=2x_D=$\frac{a}{2}$．
∴DB=$\frac{8}{a}$-$\frac{a}{2}$．
∵AC=$\frac{6}{a}$，
∴$\frac{6}{a}$=$\frac{8}{a}$-$\frac{a}{2}$，
解得：a=±2．
经检验：a=±2是该方程的解．
∵a＞0，
∴a=2．
∴b=$\frac{8}{a}$=4．
∴点A的坐标为（2，4）；
②AC为平行四边形的对角线，
此时点B、点C都在点Q的左边，如图5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴y_D=y_C=$\frac{2}{a}$．
∴x_D=$\frac{{y}_{D}}{2}$=$\frac{1}{a}$．
∴CD=$\frac{1}{a}$-a．
∵AB=a-$\frac{a}{4}$=$\frac{3a}{4}$，
∴$\frac{3a}{4}$=$\frac{1}{a}$-a．
解得：a=±$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
经检验：a=±$\frac{2\sqrt{7}}{7}$是该方程的解．
∵a＞0，
∴a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴b=$\frac{8}{a}$=4$\sqrt{7}$．
∴点A的坐标为（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$）．
综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）或（2，4）或（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性．