Question

已知抛物线y=x²-2x+m与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₂＞x₁），
（1）若点P（-1，2）在抛物线y=x²-2x+m上，求m的值；
（2）若抛物线y=ax²+bx+m与抛物线y=x²-2x+m关于y轴对称，点Q₁（-2，q₁）、Q₂（-3，q₂）都在抛物线y=ax²+bx+m上，则q₁、q₂的大小关系是______；
（请将结论写在横线上，不要写解答过程）；（友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）
（3）设抛物线y=x²-2x+m的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把P坐标代入所给的函数解析式即可；
（2）关于y轴对称，函数的开口方向不变还是开口向上，对称轴也关于y轴对称．原来的对称轴是x=1，那么新函数的对称轴是x=-1，Q₁，Q₂都在对称轴的左侧，那么y随x的增大而减小．∴q₁＜q₂；
（3）∵AM=MB，△AMB是直角三角形，只有∠AMB=90°，此三角形为等腰直角三角形．作出底边上的高后，底边上的高等于等于点A到中点的距离．
解答：解：（1）∵点P（-1，2）在抛物线y=x²-2x+m上，（1分）
∴2=（-1）²-2×（-1）+m，（2分）
∴m=-1．（3分）

（2）解：q₁＜q₂（7分）

（3）∵y=x²-2x+m
=（x-1）²+m-1
∴M（1，m-1）．（8分）
∵抛物线y=x²-2x+m开口向上，
且与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴m-1＜0，
∵△AMB是直角三角形，又AM=MB，
∴∠AMB=90°△AMB是等腰直角三角形，（9分）
过M作MN⊥x轴，垂足为N．
则N（1，0），
又NM=NA．
∴1-x₁=1-m，
∴x₁=m，（10分）
∴A（m，0），
∴m²-2m+m=0，
∴m=0或m=1（不合题意，舍去）．（12分）
点评：点在函数解析式上，这个点的横纵坐标就适合这个函数解析式，二次函数的增减性跟对称轴有关．