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15.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连结CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求AB的长.

分析 (1)由中位线定理,说明EF、BC平行,由边间关系2DE=BC、BE=2DE,说明EF、BC相等,先证明四边形BCFE是平行四边形,再证明四边形BCFE是菱形;
(2)由四边形BCFE是菱形,∠BCF=120°,说明∠ACB=60°,由AE=EC=BC=BE,得到∠A=30°,求出∠ABC的度数,在RT△ABC中,求出AB的长.

解答 (1)证明:∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE∥BC,2DE=BC,
又∵BE=2DE,EF=BE,
∴EF=BC=BE,
∴四边形BCFE是菱形.
(2)解:∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120°,
∴∠ACB=60°,
∵BC=BE,
∴△BEC是等边三角形,
∴∠BEC=60°,
∵E是AC的中点,CE=4,
∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30°,
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=90°.
在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}=4\sqrt{3}$.

点评 本题考查了三角形的中位线定理、菱形的性质和判定及勾股定理.通过中位线定理把EF与BC连接起来是解决本题的关键.

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