Question

10．在△ABC中，∠ACB=90°．D，E分别为过点C的射线上的点，且∠BEC+∠ABC=90°，AD∥BE，连接AE．
（1）如图1，当∠ABC=45°，探究AD，CE，BE之间的数量关系．
（2）如图2，当∠ABC=α时，探究AD，CE，BE之间的数量关系．（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 先判断出点A、E、C、B是以AB为直径的圆上，进而判断出四边形AEBF是矩形，得出AF=BE，再利用同弧所对的圆周角相等得出∠ACE=∠BCF即可∠DCF=90°，
（1）当∠ABC=45°时，在Rt△DCF中，CD=DFsin45°，而CD=CE+DE，DF=AD+AF=AD+BE，代换化简即可得出$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$DE=AD+BE，在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{2}$AD即可得出结论；
（2）当∠ABC=α时，同（1）的方法即可得出结论．

解答 解：如图，∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠BEC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BEC，
∴点A、E、C、B四点共圆，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∴AB是此圆的直径，
延长DA交圆于F，连接BF，CF，
∴∠AFB=90°，
∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠FAE=90°，
∴四边形AEBF是矩形，
∴AF=BE，
∵AD∥BE，
∴∠BAF=∠ABE，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠BAF=∠BCF，
∴∠ACE=∠BCF，
∴∠DCF=∠ACE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=ACB=90°，

（1）当∠ABC=45°时，
在Rt△DCF中，∠CFA=∠ABC=45°，
∴sin45°=$\frac{CD}{DF}$，
∴CD=DFsin45°，
∵CD=CE+DE，DF=AD+AF=AD+BE，
∴CE+DE=（AD+BE）sin45°，
∴$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$DE=AD+BE，
在Rt△ADE中，∠AED=90°-∠BED=90°-∠BAC=∠ABC=45°，sin45°=$\frac{AD}{DE}$，
∴DE=$\sqrt{2}$AD，
∴$\sqrt{2}$CE+2AD=AD+BE，
∴BE=AD+$\sqrt{2}$CE；

（2）当∠ABC=α时，
在Rt△DCF中，∠CFA=∠ABC=α，
∴sinα=$\frac{CD}{DF}$，
∴CD=DFsinα，
∵CD=CE+DE，DF=AD+AF=AD+BE，
∴CE+DE=（AD+BE）sinα，
在Rt△ADE中，∠AED=90°-∠BED=90°-∠BAC=∠ABC=α，sinα=$\frac{AD}{DE}$，
∴DE=$\frac{AD}{sinα}$，
∴CE+$\frac{AD}{sinα}$=ADsinα+BEsinα，
∴ADcos²α+CEsinα=BEsin²α．

点评 此题是四点共圆题，主要考查了四点共圆的判断方法，矩形的判定和性质，同角的余角相等，锐角三角函数，解本题的关键是作出辅助线把相关的线段放在直角三角形中．