Question

请你利用直角坐标平面上任意两点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）间的距离公式解答下列问题：
已知：反比例函数与正比例函数y=x的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F₁（-2，-2）、F₂（2，2）在直线y=x上．设点P（x₀，y₀）是反比例函数图象上的任意一点，记点P与F₁、F₂两点的距离之差d=|P_^F1-P_^F2|．试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．

Answer 1

解：解由和y=x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（，）、（，），线段AB的长度=4
∵点P（x₀，y₀）是反比例函数图象上一点，
∴y₀=
∴PF₁===||，
PF₂===||，
∴d=|PF₁-PF₂|=|||-|||，
当x₀＞0时，d=4；当x₀＜0时，d=4．
因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．
由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．
分析：解由和y=x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为（，）、（，），利用两点间的距离公式可求出线段AB的长度，由P为反比例函数y=上一点可得出x₀与y₀的关系式，利用两点间的距离公式可得出PF₁、PF₂的长，代入d=|P_^F1-P_^F2|即可得到x₀的表达式，再根据x₀的取值范围即可求出d的长，进而得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练利用两点间的距离公式是解答此题的关键．