分析 (1)①根据∠ABC=90°,∠FDC=90°,以及∠ECB=∠ACE=22.5°,即可得到∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°,即可判定△BEF是等腰三角形;
②延长AB至M,使得BM=AB,连接CM,根据三角形中位线定理可得BD∥CM,BD=$\frac{1}{2}$CM,再根据∠BFE=∠MCE=∠BEF,可得EM=MC,进而得出BD=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$(BC+BF);
(2)与(1)②同理可得BD∥PC,BD=$\frac{1}{2}$PC,BP=BC;由BD=$\frac{1}{2}$(BC+BE),可证明△PEC和△BEF分别是等腰三角形;由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°,可得$\frac{180°-∠EBF}{2}$=90°-∠DCF,即可得到∠ACE与∠ABC之间的数量关系:∠ACE=$\frac{1}{4}$∠ABC.
解答 解:(1)①在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,
∴∠ABD=∠CBD,AD=CD,
∵∠ABC=90°,
∴∠ACB=45°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ECB=∠ACE=22.5°,
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°,
∴BE=BF,
∴△BEF是等腰三角形;
②如图,延长AB至M,使得BM=AB,连接CM,
∴BD∥CM,BD=$\frac{1}{2}$CM,
∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°,
∠BFE=∠MCE,
∴BC=BM,
由①得,∠BEF=∠BFE,BE=BF,
∴∠BFE=∠MCE=∠BEF,
∴EM=MC,
∴BD=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$(BC+BF);
(2)∠ACE=$\frac{1}{4}$∠ABC.
求解∠ACE与∠ABC关系的思路:
a,延长AB至P,使得BP=AB,连接CP,与(1)②同理可得BD∥PC,BD=$\frac{1}{2}$PC,BP=BC;
b,由BD=$\frac{1}{2}$(BC+BE),可证明△PEC和△BEF分别是等腰三角形;
c,由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°,可得$\frac{180°-∠EBF}{2}$=90°-∠DCF,即可证明∠ACE=$\frac{1}{4}$∠ABC.
点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用,解决问题的关键是作辅助线,构造等腰三角形.
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A. | ② | B. | ①② | C. | ①②③ | D. | ①②③④ |
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