Question

7．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．
（1）求证：AC²=CD•BC；
（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．
①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；
②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

Answer 1

分析 （1）欲证明AC²=CD•BC，只需推知△ACD∽△BCA即可；
（2）①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；
②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．

解答 证明：（1）∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA=∠ACB．
又∵AC⊥AB，AD⊥AE，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，
∴∠DAC=∠EAB．
又∵E是BC的中点，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠ABC，
∴∠DAC=∠ABC，
∴△ACD∽△BCA，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴AC²=CD•BC；

（2）①证明：连接AH．
∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称，
∴AH⊥BC．
∵EG⊥AB，AE=BE，
∴点G是AB的中点，
∴HG=AG，
∴∠GAH=GHA．
∵点F为AC的中点，
∴AF=FH，
∴∠HAF=∠FHA，
∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，
∴FH⊥GH；
②∵EK⊥AB，AC⊥AB，
∴EK∥AC，
又∵∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$BC=EB=EC．
又EK=EB，
∴EK=AC，
即AK=KE=EC=CA，
∴四边形AKEC是菱形．

点评 本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大．