Question

9．如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．

（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB=100°，求∠ADB的度数．
（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系：∠ADB=90°-$\frac{1}{2}∠$ACB．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据平行线的性质得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，根据角平分线的定义得到∠1=$\frac{1}{2}∠$ACG，∠2=$\frac{1}{2}∠BCG$，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根据角平分线的定义得到∠1=$\frac{1}{2}∠$ACG，∠2=$\frac{1}{2}∠BCG$，根据平角的定义即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根据平行线的定义得到∠1=$\frac{1}{2}∠$MAC，∠2=$\frac{1}{2}$∠CBF，根据四边形的内角和和角的和差即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，
∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠$ACG，∠2=$\frac{1}{2}∠BCG$，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（∠ACG+∠BCG）=$\frac{1}{2}$∠ACB；
∵∠ACB=100°，
∴∠ADB=50°；

（2）如图2，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，
∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠$ACG，∠2=$\frac{1}{2}∠BCG$，
∴∠ADB=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠MAC+∠EBC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠NAC+180°-∠FBC）=$\frac{1}{2}$（360°-∠ACB），
∴∠ADB=180°-$\frac{1}{2}$∠ACB；

（3）如图3，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，
∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，
∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠$MAC，∠2=$\frac{1}{2}$∠CBF，
∵∠ADB=360°-∠1-（180°-∠2）-∠ACB=360°-$\frac{1}{2}$∠MAC-（180°-$\frac{1}{2}$∠CBF）-∠ACB=360°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ACG）-（180°-$\frac{1}{2}$∠BCG）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB．
∴∠ADB=90°-$\frac{1}{2}∠$ACB．
故答案为：∠ADB=90°-$\frac{1}{2}∠$ACB．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．