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如图,已知以AB为直径的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,A、C两点的坐标分别为A(-1,0)、C(0,3),直线DE交x轴交于点E(-
9
4
,0).
(1)求该圆的圆心坐标和直线DE的解析式;
(2)判断直线DE与圆的位置关系,并说明理由.
(1)如图,设圆心为F,圆的半径为r,连接CF,
A(-1,0)、C(0,3),
∴OC=3,OF=r-1,
根据勾股定理,CF2=OC2+OF2
即r2=32+(r-1)2
解得r=5,
r-1=4,
∴圆心坐标为(4,0),
根据圆的对称性,点D的坐标为(0,-3),
设直线DE的解析式为y=kx+b,
b=-3
-
9
4
k+b=0

解得
k=-
4
3
b=-3

∴直线DE的解析式为y=-
4
3
x-3;

(2)直线DE与圆相切.理由如下:
如图,连接DF,
则OE=
9
4
,OF=4,OD=3,
OE
OD
=
9
4
3
=
3
4
OD
OF
=
3
4

OE
OD
=
OD
OF

又∵∠DOF,
∴△DOE△FOD,
∴∠ODE=∠OFD,
∵∠OFD+∠ODF=90°,
∴∠ODE+∠ODF=90°,
即∠EDF=90°,
∴FD⊥ED,
又∵点D在圆上,
∴直线DE与圆相切.
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3
x+m
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1
3
(x-2)2+1
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