Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若EC=3，BD=2$\sqrt{6}$，求AC的长度．

Answer 1

分析 （1）运用垂径定理、直角三角形的性质证明∠ODE=90°即可解决问题；
（2）由切割线定理可求出AB的长，再由勾股定理即可求出AC的长度．

解答 解：（1）证明：连接CD，OD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC，
∴DE为直角△DCB斜边的中线，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵EC=3，BC=6，BC是圆的切线，
∴BC²=BD•BA，
即（2CE）²=BD•BA，
∴AB=3$\sqrt{6}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的运用．