Question

13．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ=7+2$\sqrt{3}$，△PQR的周长等于27+13$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．

解答 解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等边三角形．
AC=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
则QH=HA=HG=AC=2$\sqrt{3}$．
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．AM=HA•cos60°=$\sqrt{3}$．
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2$\sqrt{3}$+3+4=7+2$\sqrt{3}$．
∴QP=2QR=14+4$\sqrt{3}$．
PR=QR•$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$+6．
∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13$\sqrt{3}$．
故答案为：7+2$\sqrt{3}$；27+13$\sqrt{3}$．

点评 考查了勾股定理的证明和含30度角的直角三角形，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．