【题目】如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.
(1)求证:BD=CE;
(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点,当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.
【答案】
(1)
解:由题意得,AB=AC,
∵BD,CE分别是两腰上的中线,
∴AD= AC,AE= AB,
∴AD=AE,
在△ABD和△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE;
(2)
四边形DEMN是正方形,
证明:∵E、D分别是AB、AC的中点,
∴AE= AB,AD= AC,ED是△ABC的中位线,
∴ED∥BC,ED= BC,
∵点M、N分别为线段BO和CO中点,
∴OM=BM,ON=CN,MN是△OBC的中位线,
∴MN∥BC,MN= BC,
∴ED∥MN,ED=MN,
∴四边形EDNM是平行四边形,
由(1)知BD=CE,
又∵OE=ON,OD=OM,OM=BM,ON=CN,
∴DM=EN,
∴四边形EDNM是矩形,
在△BDC与△CEB中, ,
∴△BDC≌△CEB,
∴∠BCE=∠CBD,
∴OB=OC,
∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等,
∴O到BC的距离= BC,
∴BD⊥CE,
∴四边形DEMN是正方形.
【解析】(1)根据已知条件得到AD=AE,根据全等三角形的性质即可得到结论;(2)根据三角形中位线的性质得到ED∥BC,ED= BC,MN∥BC,MN= BC,等量代换得到ED∥MN,ED=MN,推出四边形EDNM是平行四边形,(1)知BD=CE,求得DM=EN,得到四边形EDNM是矩形,根据全等三角形的性质得到OB=OC,由三角形的重心的性质得到O到BC的距离= BC,根据直角三角形的判定得到BD⊥CE,于是得到结论.
【考点精析】认真审题,首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)),还要掌握正方形的判定方法(先判定一个四边形是矩形,再判定出有一组邻边相等;先判定一个四边形是菱形,再判定出有一个角是直角)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】某水果店以4元/千克的价格购进一批水果,由于销售状况良好,该店又再次购进同一种水果,第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元,所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍,这样该水果店两次购进水果共花去了2200元.
(1)该水果店两次分别购买了多少元的水果?
(2)在销售中,尽管两次进货的价格不同,但水果店仍以相同的价格售出,若第一次购进的水果有3%的损耗,第二次购进的水果有5%的损耗,该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元,则该水果每千克售价至少为多少元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点分别在轴、轴的正半轴上,,,将绕点按顺时针方向旋转得到,使所在直线经过点,则直线的解析式为__________.
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【题目】已知一张三角形纸片ABC(如图甲),其中AB=AC.将纸片沿过点B的直线折叠,使点C落到AB边上的E点处,折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点E的直线折叠,点A恰好与点D重合,折痕为EF(如图丙).原三角形纸片ABC中,∠ABC的大小为______°.
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【题目】如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E分别在边AB、CB上,CD=DE,∠CDB=∠DEC,过点C作CF⊥DE于点F,交AB于点G,
(1)求证:△ACD≌△BDE;
(2)求证:△CDG为等腰三角形.
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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①2a+b=0;②m+n=3;③抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);④方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;⑤当1≤x≤4时,有y2<y1,其中正确的是( )
A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②④⑤
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【题目】如图甲,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).
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【题目】如图1,已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A(m,1),与y轴交于点C,顶点为B,将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2 , 点A,B的对应点分别为点D,E.
(1)直接写出点A,C,D的坐标;
(2)当四边形ABCD是矩形时,求a的值及抛物线y2的解析式;
(3)在(2)的条件下,连接DC,线段DC上的动点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止,在点P运动的过程中,过点P作直线l⊥x轴,将矩形ABDE沿直线l折叠,设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系.
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