如图.矩形ABCD中.AB=4.AD=3.∠DAB的角平分线交边CD于点E．点P在射线AE上以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动.过点P作PQ⊥AB于点Q.以PQ为边向右作平行四边形PQMN.点N在射线AE上.且AP=PN．设P点运动时间为t秒．(1)当点M落在BC上时.求线段PQ的长．(2)当点C落在平行四边形PQMN的对角线上时.求t的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB的角平分线交边CD于点E．点P在射线AE上以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作平行四边形PQMN，点N在射线AE上，且AP=PN．设P点运动时间为t秒．
（1）当点M落在BC上时，求线段PQ的长．
（2）当点C落在平行四边形PQMN的对角线上时，求t的值．
（3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分面积为S，当点P在线段AE上运动时，求S与t的函数关系式．
（4）直接写出在点P、Q运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时t的值（不添加任何辅助线）．

分析（1）如图1中，当点M在BC上时，只要证明AQ=QB即可解决问题．
（2）①当点C落在对角线PM上时，点P与点E重合，如图2中，此时，AP=3$\sqrt{2}$，由此解决问题．②当点C落在对角线NQ上时，如图3中，延长NM交AB的延长线于G，只要证明BC=2QB即可列出方程解决问题．
（3）分三种情形讨论①如图4中，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是平行四边形PQMN．②如图5中，当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，重叠部分是五边形PQMGE．③如图6中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K．分别求解即可．
（4）分三种情形讨论即可）①如图7中，当点Q是AB中点时，△APQ≌△QMB．②如图8中，当点P与点E重合时，△APQ≌△AED．③如图9中，当△PEK≌△QGB时，分别求解即可．

解答解：（1）如图1中，

当点M在BC上时，∵PQ∥BN，AP=PN，
∴AQ=QB，∵AB=4，
∴AQ=2，AP=$\sqrt{2}$AQ=2$\sqrt{2}$．

（2）①当点C落在对角线PM上时，点P与点E重合，如图2中，

此时，AP=3$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3，
②当点C落在对角线NQ上时，如图3中，延长NM交AB的延长线于G．

∵BC∥NG，
∴$\frac{BC}{GN}$=$\frac{QB}{QG}$，
∴$\frac{QB}{BC}$=$\frac{QG}{GN}$=$\frac{1}{2}$，
∴3=2（4-t），
∴t=$\frac{5}{2}$，
综上所述当t=$\frac{5}{2}$或3s时，点C在行四边形PQMN的对角线上．

（3）①如图4中，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是平行四边形PQMN，S=t²，

②如图5中，当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，重叠部分是五边形PQMGE，

S=S_{平行四边形PQMN}-S_△NGE=t²-$\frac{1}{2}$[$\frac{2\sqrt{2}t-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$]²=-t²+6t-$\frac{9}{2}$．
③如图6中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K．

S=S_矩形QBCK-S_△KPE-S_△QBG=3（4-t）-$\frac{1}{2}$（$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}t}{\sqrt{2}}$）²-$\frac{1}{2}$（4-t）²=-t²+4t-$\frac{1}{2}$，
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{-{t}^{2}+6t-\frac{9}{2}}&{（\frac{3}{2}＜t≤2）}\\{-{t}^{2}+4t-\frac{1}{2}}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．

（4）①如图7中，当点Q是AB中点时，△APQ≌△QMB，此时t=2．

②如图8中，当点P与点E重合时，△APQ≌△AED，此时t=3．

③如图9中，当△PEK≌△QGB时，由EK=BQ得到，$\frac{\sqrt{2}t-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=4-t，解得t=$\frac{7}{2}$，

综上所述t=2s或3s或$\frac{7}{2}$s时，整个图形中形成的三角形存在全等三角形．

点评本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、平移变换、全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形，学会利用分割法求面积，属于中考压轴题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

10．

小明在暑期社会实践活动中，以每千克10元的价格从批发市场购进若干千克荔枝到市场上去销售，在销售了40千克之后，余下的荔枝，每千克降价4元，全部售完．销售金额y（元）与售出荔枝的重量x（千克）之间的关系如图所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：
（1）在这个变化关系中，自变量是x，因变量是y；
（2）①降价前售出荔枝的单价为16元/千克，②降价前销售金额y（元）与售出荔枝的重量x（千克）之间的关系式为y=16x；
（3）小明从批发市场上共购进了多少千克的荔枝？
（4）小明这次卖荔枝共赚了多少钱（不计其它成本）？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

11．已知△ABC为任意三角形．
（1）如图1，分别以AB、AC为边，向形外作两个等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点O，试证明：OA+OC=OE．
（2）如图2，分别以边AB、AC为底，向形外作两个等腰直角三角形△ABD、△ACE，取BC的中点F，连接DF，EF，试判断DF与EF的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图3，分别以边AB、AC、BC为底，向形外作三个顶角为120°等腰三角形△ABD、△ACE、△BCF，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（4）如图4，在边上向形外作△ABD、△ACE、△BCF，使得∠ABD=∠ACE=45°，∠BAD=∠CAE=30°，∠FBC=∠FCB=15°，试判断△DEF的形状，并说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

8．某日的最低气温为-2℃，最高气温比最低气温高为6℃，则这一天的最高气温是（　　）

A．

8℃

B．

6℃

C．

4℃

D．

2℃

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

15．解关于x的方程：ax²=3（a≠0）．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

5．计算：
（1）（-1）²⁰⁰⁴+（-$\frac{1}{2}$）^-2-（3.14-π）⁰
（2）（2a+3b）（2a-3b）+（a-3b）²
（3）（-2x²y+6x³y⁴-8xy）÷（-2xy）
（4）2005²-2007×2003
（5）化简再求值：x（x+2y）-（x+1）²+2x，其中x=$\frac{1}{25}$，y=-25．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

12．函数$y=\frac{1}{x-3}$的自变量x的取值范围是x≠3．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

9．

天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=$\left\{\begin{array}{l}{32x（0≤x≤5）}\\{20x+60（5＜x≤19）}\end{array}\right.$
（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

10．在-3，$\sqrt{2}$，-1，$\frac{π}{6}$，|-2|五个数中无理数有2个，负数有2个．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学