Question

13．已知在平面直角坐标系中，一次函数y=x+m（m＞1），与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数y=（m-$\frac{9}{2}$）x-2经过B点，与x轴交于C．
（1）求m的值；
（2）点E为线段BC上一点，连接OE，设E点横坐标为t，△OBE的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过B点作直线OE的垂线，垂足为D，在DB的延长线上截取一点F，使BF=OE，连接OF，若∠OBD+∠DEB-∠FOB=90°，求E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B（-m，0）点坐标代入y=（m-$\frac{9}{2}$）x-2，求出m即可解决问题；
（2）如图1中，作EF⊥OB于F．根据S_△BOE=$\frac{1}{2}$•OB•EF，即可解决问题；
（3）如图2中，作EN⊥OB于N，OH⊥BC于H．首先证明四边形OFBE是等腰梯形，推出∠F=∠EOF，由∠D=90°，∠F=∠EOF=∠OEH=45°，可得△OEH是等腰直角三角形，推出OH=EH，由$\frac{1}{2}$•OB•OC=$\frac{1}{2}$•BC•OH，可得OH=$\frac{OB•OC}{BC}$=$\frac{8}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，在Rt△OHC中，HC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，推出EC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，BE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，由EN∥OC，可得$\frac{EN}{OC}$=$\frac{BN}{OB}$=$\frac{BE}{BC}$，求出EN、BN即可解决问题；

解答 解：（1）由题意B（-m，0），
∵一次函数y=（m-$\frac{9}{2}$）x-2经过B点，
∴0=（m-$\frac{9}{2}$）×（-m）-2，
解得m=4或$\frac{1}{2}$（舍弃）．
∴m=4．
（2）如图1中，作EF⊥OB于F．

由（1）可知直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-2，B（-4，0），
∵E（t，-$\frac{1}{2}$t-2），
∴EF=$\frac{1}{2}$t+2，
∴S=$\frac{1}{2}$•OB•EF=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$t+2）=t+4（-4＜t≤0）．

（3）如图2中，作EN⊥OB于N，OH⊥BC于H．

∵∠OBD+∠DEB-∠FOB=90°，∠OBD=∠F+∠FOB，
∴∠F+∠DEB=90°，∵∠DBE+∠DEB=90°，
∴∠F=∠DBE，
∴OF∥BC，
∵BF=OE，
∴四边形OFBE是等腰梯形，
∴∠F=∠EOF，∵∠D=90°，
∴∠F=∠EOF=∠OEH=45°，
∴△OEH是等腰直角三角形，
∴OH=EH，
∵$\frac{1}{2}$•OB•OC=$\frac{1}{2}$•BC•OH，
∴OH=$\frac{OB•OC}{BC}$=$\frac{8}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△OHC中，HC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，BE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵EN∥OC，
∴$\frac{EN}{OC}$=$\frac{BN}{OB}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴$\frac{EN}{2}$=$\frac{BN}{4}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}$，
∴EN=$\frac{4}{5}$，BN=$\frac{8}{5}$，
∴ON=OB-BN=$\frac{12}{5}$，
∴E（-$\frac{12}{5}$，-$\frac{4}{5}$）．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、平行线分线段成比例定理、等腰梯形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用面积法求有关线段，属于中考压轴题．