Question

如图，AB是⊙O的直径，EF⊥AB于F，GH⊥AB于H且EF=GH．
求证：AF=BH．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：证明题

分析：连接OE，OG，由EF与GH都与AB垂直得到三角形OEF与三角形OGH都为直角三角形，利用HL得到两直角三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到OF=OH，由OA=OB，利用等式的性质即可得到AF=BH，得证．

解答：证明：连接OE，OG，
∵EF⊥AB于F，GH⊥AB，
∴∠OFE=∠OHG=90°，
在Rt△OFE和Rt△OHG中，
∵

EF=GH OE=OG

，
∴Rt△OFE≌Rt△OHG（HL），
∴OF=OH，又OA=OB，
∴OA-OF=OB-OH，即AF=BH．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等式的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．