分析 (1)先确定B(-4,0),再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2$\sqrt{3}$,D(0,2$\sqrt{3}$),然后利用交点式求抛物线的解析式;
(2)先计算出CD=2OC=4,再根据平行四边形的性质得AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,则由AE=3BE得到AE=3,接着计算$\frac{AE}{OC}$$\frac{AD}{CD}$=$\frac{3}{2}$,加上∠DAE=∠DCB,则可判定△AED∽△COD,得到∠ADE=∠CDO,而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ODE=90°,再利用圆周角定理得到CD为⊙P的直径,于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线
(3)由△AED∽△COD,根据相似比计算出DE=3$\sqrt{3}$,由于∠CDE=90°,DE>DC,再根据旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上,而点C、D在抛物线上,于是可判断点E′不能在抛物线上;
(4)利用配方得到y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$(x+1)2+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$,则M(-1,$\frac{9\sqrt{3}}{4}$),且B(-4,0),D(0,2$\sqrt{3}$),根据平行四边形的性质和点平移的规律,利用分类讨论的方法确定N点坐标.
解答 解:(1)∵C(2,0),BC=6,
∴B(-4,0),
在Rt△OCD中,∵tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$,
∴OD=2tan60°=2$\sqrt{3}$,
∴D(0,2$\sqrt{3}$),
设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-2),
把D(0,2$\sqrt{3}$)代入得a•4•(-2)=2$\sqrt{3}$,解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$,
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$(x+4)(x-2)=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$;
(2)在Rt△OCD中,CD=2OC=4,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,
∵AE=3BE,
∴AE=3,
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{3}{2}$,$\frac{AD}{CD}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{AD}{CD}$,
而∠DAE=∠DCB,
∴△AED∽△COD,
∴∠ADE=∠CDO,
而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°,
∴CD⊥DE,
∵∠DOC=90°,
∴CD为⊙P的直径,
∴ED是⊙P的切线;
(3)E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上.理由如下:
∵△AED∽△COD,
∴$\frac{DE}{OD}$=$\frac{AE}{OC}$,即$\frac{DE}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3}{2}$,解得DE=3$\sqrt{3}$,
∵∠CDE=90°,DE>DC,
∴△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′在射线DC上,
而点C、D在抛物线上,
∴点E′不能在抛物线上;
(4)存在.
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$(x+1)2+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
∴M(-1,$\frac{9\sqrt{3}}{4}$),
而B(-4,0),D(0,2$\sqrt{3}$),
如图2,
当BM为平行四边形BDMN的对角线时,点D向左平移4个单位,再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到点B,则点M(-1,$\frac{9\sqrt{3}}{4}$)向左平移4个单位,再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到点N1(-5,$\frac{\sqrt{3}}{4}$);
当DM为平行四边形BDMN的对角线时,点B向右平移3个单位,再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点M,则点D(0,2$\sqrt{3}$)向右平移3个单位,再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点N2(3,$\frac{17\sqrt{3}}{4}$);
当BD为平行四边形BDMN的对角线时,点M向左平移3个单位,再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点B,则点D(0,2$\sqrt{3}$)向右平移3个单位,再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点N3(-3,-$\frac{\sqrt{3}}{4}$),
综上所述,点N的坐标为(-5,$\frac{\sqrt{3}}{4}$)、(3,$\frac{17\sqrt{3}}{4}$)、(-3,-$\frac{\sqrt{3}}{4}$).
点评 考查了二次函数综合题:熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质;掌握平行四边形的性质点平移的规律;会证明圆的切线.
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