Question

【题目】如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．

（1）求证：∠ABG＝2∠C；

（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，推出OE∥AB，得到∠A＝∠OEC，根据等腰三角形的性质得到∠OEC＝∠C，求得∠A＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到BF＝＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

证明：（1）如下图：连接OE，

∵EG是⊙O的切线，

∴OE⊥EG，

∵BF⊥GE，

∴OE∥AB，

∴∠A＝∠OEC，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠C，

∴∠A＝∠C，

∵∠ABG＝∠A+∠C，

∴∠ABG＝2∠C；

解：（2）∵BF⊥GE，

∴∠BFG＝90°，

∵GF＝3，GB＝6，

∴BF＝＝3，

∵BF∥OE，

∴△BGF∽△OGE，

∴，

∴，

∴OE＝6，

∴⊙O的半径为6．