Question

11．已知四边形ABCD是平行四边形，且以BC为直径的⊙O经过点A．

（l）如图①，若AD与⊙O相切，求∠ABC的度数；
（2）如图②，若AD与⊙O相交，交点E为AD的中点，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）由AD与⊙O相切，得到∠OAD=90°，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠AOB=∠DAO=90°，即可得到结论；
（2）连接AO，OE，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC，推出四边形ABOE是平行四边形，证得?ABOE是菱形，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AD与⊙O相切，
∴∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AOB=∠DAO=90°，
∵OA=OB，
∴∠ABC=45°；
（2）连接AO，OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵点E为AD的中点，O为BC的中点，
∴AE=BO，AE∥BO，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵OB=OE，
∴?ABOE是菱形，
∴AB=OB=AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABC=60°．

点评 本题考查了切线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．