Question

13．我们已经知道（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）ⁿ（n为非负整数）的计算结果有什么规律呢？实际上我国宋代就有数学家进行了研究：
如果将（a+b）ⁿ（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）⁰=1，它只有一项，系数为1；
（a+b）¹=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
…
如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据发现的规律解答下面的问题：
（1）尝试写出（a+b）⁴的结果，并用整式乘法的相关知识进行验证；
（2）请直接写出（a+b）⁵共有6项，各项系数的和等于32；
（3）（a+b）ⁿ（n为非负整数）共有n+1项，各项系数的和等于2ⁿ．

Answer 1

分析 （1）根据规律写出（a+b）⁴的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可；
（2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可；
（3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）ⁿ的项数以及各项系数的和即可．

解答 解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
验证：（a+b）⁴
=（a+b）²（a+b）²
=（a²+2ab+b²）（a²+2ab+b²）
=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（2）根据规律可得，（a+b）⁵共有6项，
各项系数分别为：1，5，10，10，5，1，
它们的和等于32；
故答案为：6，32；

（3）根据规律可得，（a+b）ⁿ共有（n+1）项，
∵1=2⁰
1+1=2¹
1+2+1=2²
1+3+3+1=2³
∴（a+b）ⁿ各项系数的和等于2ⁿ
故答案为：n+1，2ⁿ

点评 本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．