Question

若三角形的周长是19，且其三边都是正整数，则满足这种条件的三角形的个数为________．

Answer 1

10
分析：三角形的三边中，等边三角形三边相等；除此外，必有一边是最长边；故可设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=19-c＞c，而且最大边须满足：②c≥，故可得c只能在7，8，9中选；
当c=7时，b=7，a=5或b=6，a=6；
当c=8时，b=8，a=3或b=7，a=4或b=6，a=5；
当c=9时，b=9，a=1或b=8，a=2或b=7，a=3或b=6，a=4或b=a=5．
解答：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=19-c＞c≥，
∴≤c＜，故c=7，或8，或9；分类讨论如下：
①当c=7时，b=7，a=5或b=6，a=6；
②当c=8时，b=8，a=3或b=7，a=4或b=6，a=5；
③当c=9时，b=9，a=1或b=8，a=2或b=7，a=3或b=6，a=4或b=a=5．
∴满足条件的三角形的个数为10．
点评：本题属竞赛题型，且涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握．