Question

【题目】已知正比例函数与反比例函数.

（1）证明：直线与双曲线没有交点；

（2）若将直线向上平移4个单位后与双曲线恰好有且只有一个交点，求反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；

（3）将（2）小题平移后的直线代表的函数记为，根据图象直接写出：对于负实数，当取何值时

Answer 1

【答案】（1）方程组无解即没有公共解，也就是两函数图象没有交点（交点即公共点）；（2）当时， 当时， ；（3）当或时满足.

【解析】

（1）将和这两函数看成两个不定方程，联立方程组，整理后得方程，再利用根的判别式得出这个方程无解，所以两函数图象没有交点；

（2）向上平移4个单位后，联立方程组，整理后得方程，因为直线与双曲线有且只有一个交点，所以方程有且只有一个解，利用根的判别式得出K的值，从而得到函数表达式；

（3）取时，作出函数图象，观察图象可得到结论.

（1）证明：将和这两函数看成两个不定方程，联立方程组得：

两边同时乘得，

整理后得

利用计算验证得：

∵ 所以

方程组无解即没有公共解，也就是两函数图象没有交点（交点即公共点）

（2）向上平移4个单位后，这时刚好与双曲线有且只有一个交点.

联立方程组得：

两边同时乘得，整理后得

因为直线与双曲线有且只有一个交点，

∴方程有且只有一个解，即：，

将方程对应的值代入判别式得：

解得

综上所述：当时，，

当时， ，

（3）题目要求负实数的值，所以我们取时的函数图象情况.图象大致如下图所示：

计算可得交点坐标，

要使，即函数的图象在函数图象的上方即可，

由图可知，当或时函数的图象在函数，

图象的上方，即当或时满足