Question

如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=3，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于3，则α=

 

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Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可求出α的度数．

解答：解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=3，
∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=3，
∴OC=OD=CD=3，
∴△COD是等边三角形，
∴2α=60°，
∴α=30°．
故答案为30°．

点评：此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．