分析 延长AE交BC于点F.在Rt△ADB中,根据勾股定理得到AD,进一步得到CD;在Rt△BDC中,根据勾股定理得到BC;根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到CF,在Rt△AFC中,根据勾股定理得到AF,然后通过两角对应相等的两个三角形相似即可证明△DAE∽△FAC,根据相似三角形的对应边成比例即可求解.
解答 解:延长AE交BC于点F.
∵在△ABC中,AB=AC=3,高BD=$\sqrt{5}$,
∴在Rt△ADB中,AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=2,
∴CD=AC-AD=1,
∴在Rt△BDC中,BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$,
∵AE平分∠BAC,
∴CF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,∠AFC=90°,
∴在Rt△AFC中,AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$,
∵∠DAE=∠FAC,∠ADE=∠AFC=90°,
∴△DAE∽△FAC,
∴DE:AD=CF:AF,
∴DE=$\frac{AD•CF}{AF}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{30}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
故答案为:$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
点评 此题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和角平分线的性质,相似三角形的判定和性质,关键是根据题意作出辅助线.
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