Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC=3，高BD=$\sqrt{5}$，∠BAC的平分线与BD交于点E，则DE的长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 延长AE交BC于点F．在Rt△ADB中，根据勾股定理得到AD，进一步得到CD；在Rt△BDC中，根据勾股定理得到BC；根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到CF，在Rt△AFC中，根据勾股定理得到AF，然后通过两角对应相等的两个三角形相似即可证明△DAE∽△FAC，根据相似三角形的对应边成比例即可求解．

解答 解：延长AE交BC于点F．

∵在△ABC中，AB=AC=3，高BD=$\sqrt{5}$，
∴在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=2，
∴CD=AC-AD=1，
∴在Rt△BDC中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵AE平分∠BAC，
∴CF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，∠AFC=90°，
∴在Rt△AFC中，AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
∵∠DAE=∠FAC，∠ADE=∠AFC=90°，
∴△DAE∽△FAC，
∴DE：AD=CF：AF，
∴DE=$\frac{AD•CF}{AF}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{30}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据题意作出辅助线．