Question

2．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM⊥x轴，直线y=-x+b（b为常数）经过点A，且与直线CM相交于点D，连结OD．
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）设点P在x轴的负半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以P点为圆心，PD为半径的圆与圆O内切，求圆O的半径．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入代入直线的解析式求得b的值，从而得到直线的解析式为y=-x+1，然后将y=4代入可求得点D的坐标；
（2）可分为DO=DP、DO=OP、DP=OP三种情况分类计算；
（3）根据（2）中三种情况可确定出d和r的值，然后由两圆内切可知：d=R-r，从而可求得R的值．

解答 解：（1）将x=1，y=0代入直线的解析式得：-1+b=0，
解得：b=1．
∴直线的解析式为y=-x+1．
将y=4代入y=-x+1得：-x+1=4，解得：x=-3．
∴点D的坐标为（-3，4）．
（2）①如图1所示：DO=OP．
在△OCD中，由勾股定理得：OD=$\sqrt{D{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
，
OP=OD=5．
∴点P的坐标为（-5，0）．
②如图2所示：PD=DO．

过点D作DE⊥x轴，垂足为E．
∵DP=PO，DE⊥OP，
∴PE=OE．
∴OP=2OP=2×3=6．
∴点P的坐标为（-6，0）．
③如图3所示：DP=OP．过点P作PE⊥DO，垂足为E，过点E作EF⊥OP垂足为F．

∵PD=PO，PE⊥DO，
∴ED=OE．
∴点E的坐标为（-1.5，2）．
∵∠EOF+∠FEO=90°，∠EPO+∠EOF=90°，
∴∠EPO=∠OEF．
又∵∠PFE=∠EFO，
∴△EFP∽△OFE．
∴$\frac{EF}{PF}=\frac{OF}{EF}$．
∴PF=$\frac{E{F}^{2}}{OF}$=$\frac{4}{\frac{3}{2}}$=$\frac{8}{3}$．
∴OP=$\frac{3}{2}$+$\frac{8}{3}$=$\frac{25}{6}$．
∴点P的坐标为（-$\frac{25}{6}$，0）．
综上所述，点P的坐标为（-5，0）或（-6，0）或（-$\frac{25}{4}$，0）．
（3）∵以P点为圆心，PD为半径的圆与圆O内切，
∴d=R-r．
①当DO=OP=5时，如图4所示：过点D作DE⊥OP，垂足为E．

r=PD=$\sqrt{P{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，d=PO=5．
∴R=d+r=5+2$\sqrt{5}$．，
②如图5所示：PD=DO=5时．

∵r=PD=5，d=OP=6，
∴R=5+6=11．
③如图6所示：当DP=OP=$\frac{25}{6}$时．

d=r=$\frac{25}{4}$．
∴R=$\frac{25}{2}$．
综上所述圆O的半径为5$+2\sqrt{5}$或11或$\frac{25}{2}$．

点评 本题主要考查的是圆和圆的位置关系、勾股定理的应用、等腰三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式，分类讨论是解题的关键．