Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(m，0)、B(0，n)，且｜m-n-3｜+=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒.

(1) 求OA、OB的长.

(2) 连接PB，若△POB的面积为3，求t的值.

(3) 过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）OA=6，OB=3；（2）若△POB的面积为3，则t的值为4或8；（3）存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．

【解析】

（1）根据非负数的性质列方程求解即可；

（2）分两种情况：①当点P在线段AO上时，②当点P在线段AO的延长线上时，分别根据△POB的面积为3构造方程求解即可；

（3）当OP＝OB＝3时，分两种情况，画出符合条件的两种图形，可通过AAS证明两三角形全等，结合图形和全等三角形的性质即可得出答案．

解：（1）∵，

∴m-n-3=0，2n-6=0，

解得：n=3，m=6，

∴OA=6，OB=3；

（2）分两种情况：

①当点P在线段AO上时，

∵AP=t，

∴PO=6-t，

∴△POB的面积＝，

解得：t=4；

②当点P在线段AO的延长线上时，

∵AP=t，

∴PO=t-6，

∴△POB的面积＝，

解得：t=8，

综上，若△POB的面积为3，则t的值为4或8；

（3）当OP＝OB＝3时，分两种情况：

①如图：

∵∠BAO+∠APD=90°，∠APD=∠OPE，∠OPE+∠PEO=90°,

∴∠BAO=∠PEO，

又∵∠BOA=∠POE=90°，OP＝OB，

∴△EOP≌△AOB（AAS），

∵OP＝OB＝3，

∴AP=6-3=3，

∴t=3，

②如图：同理可证△EOP≌△AOB（AAS），

∵OP＝OB＝3，

∴AP=6+3=9，

∴t=9，

即存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．