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(2006•北京)已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式;
(3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A′求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.
【答案】分析:(1)由于A、B、C三点的坐标已知,代入函数解析式中利用待定系数法就可以确定函数的解析式;
(2)若点D为线段OA的一个三等分点,那么根据已知条件可以确定D的坐标为(0,1)或,(0,2),而C的坐标已知,利用待定系数法就可以确定直线CD的解析式;
(3)如图,由题意,可得M(0,),点M关于x轴的对称点为M′(0,-),点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'(6,3),连接A'M',根据轴对称性及两点间线段最短可知,A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长,根据待定系数法可求出直线A'M'的解析式为y=x-,从而求出E、F两点的坐标,再根据勾股定理可以求出A'M'=,也就求出了最短总路径的长.
解答:解:(1)根据题意,c=3,
所以
解得
所以抛物线解析式为y=x2-x+3.

(2)依题意可得OA的三等分点分别为(0,1),(0,2).
设直线CD的解析式为y=kx+b.
当点D的坐标为(0,1)时,直线CD的解析式为y=-x+1;(3分)
当点D的坐标为(0,2)时,直线CD的解析式为y=-x+2.(4分)

(3)如图,由题意,可得M(0,).
点M关于x轴的对称
点为M′(0,-),
点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'(6,3).
连接A'M'.
根据轴对称性及两点间线段最短可知,A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长.(5分)
所以A'M'与x轴的交点为所求E点,与直线x=3的交点为所求F点.
可求得直线A'M'的解析式为y=x-
可得E点坐标为(2,0),F点坐标为(3,).(7分)
由勾股定理可求出
所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为.(8分)
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式,一次函数的解析式,图形的对称变换,求最短线段之和等重要知识点,综合性强,能力要求极高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
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