【答案】
分析:(1)由于A、B、C三点的坐标已知,代入函数解析式中利用待定系数法就可以确定函数的解析式;
(2)若点D为线段OA的一个三等分点,那么根据已知条件可以确定D的坐标为(0,1)或,(0,2),而C的坐标已知,利用待定系数法就可以确定直线CD的解析式;
(3)如图,由题意,可得M(0,
),点M关于x轴的对称点为M′(0,-
),点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'(6,3),连接A'M',根据轴对称性及两点间线段最短可知,A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长,根据待定系数法可求出直线A'M'的解析式为y=
x-
,从而求出E、F两点的坐标,再根据勾股定理可以求出A'M'=
,也就求出了最短总路径的长.
解答:解:(1)根据题意,c=3,
所以
解得
所以抛物线解析式为y=
x
2-
x+3.
(2)依题意可得OA的三等分点分别为(0,1),(0,2).
设直线CD的解析式为y=kx+b.
当点D的坐标为(0,1)时,直线CD的解析式为y=-
x+1;(3分)
当点D的坐标为(0,2)时,直线CD的解析式为y=-
x+2.(4分)
(3)如图,由题意,可得M(0,
).
点M关于x轴的对称
点为M′(0,-
),
点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'(6,3).
连接A'M'.
根据轴对称性及两点间线段最短可知,A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长.(5分)
所以A'M'与x轴的交点为所求E点,与直线x=3的交点为所求F点.
可求得直线A'M'的解析式为y=
x-
.
可得E点坐标为(2,0),F点坐标为(3,
).(7分)
由勾股定理可求出
.
所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为
.(8分)
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式,一次函数的解析式,图形的对称变换,求最短线段之和等重要知识点,综合性强,能力要求极高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.