Question

【题目】如图，已知矩形ABCD中，∠ACB=30°，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使FB′=AB．

（1）求证：BB′= FB′；

（2）求∠FBB′的度数 ；

（3）已知AB=4，求△BFB′面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）15°；（3）4

【解析】

（1）关键根据旋转的性质证明△ABB′为等边三角形即可得证；

（2）易知∠B B′F=150°，而BB′= FB′，进而求得∠FBB′的度数；

（3）过B作BH⊥BF交FB′的延长线于H，关键求出BH，利用三角形面积公式即可得解.

证明：（1）∵ 矩形ABCD中，∠ACB=30°

∴∠BAC=60°

由旋转可得：AB′=AB

∴△ABB′为等边三角形，

∴BB′= AB

∵FB′= AB

∴BB′= FB′

（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，

∴∠AB′B=60°，

由旋转可得∠AB′F=90°

∴∠BB′F=150°

∴BB′= FB′

∴∠FBB′=∠BFB′=15°；

（3）解：过B作BH⊥BF交FB′的延长线于H，

∵∠FBB′=∠BFB′=15°

∴∠B B′H=30°

在Rt△B B′H中，BB′= AB=4, ∠B B′H=30°

∴BH=2

S△BFB′=，