Question

如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，AB=10，BC=3．
（1）如果M为AB上一点，且满足∠DMC=∠A，求AM的长；
（2）如果点M在AB边上移动（点M与A，B不重合），且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先证明△ADM∽△MBC，根据相似比求得AN的长即可．
（2）据题中的思路可证得△ADM∽△BMN，据已知AM=x，CN=y及相似三角形相似比可得到y关于x的函数解析式．

解答：解：在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠A=∠B，
又∵∠A=∠DMC，∠1+∠2=∠3+∠DMC，
∴∠1=∠3，
∴△ADM∽△MBC，则

AM

AD

=

BC

BM

，AD=BC（已知），
设AM=x，则

x

3

=

3

10-x

，
∴x²-10x+9=0，∴x=1或x=9，
∴AM的长为1或9．

（2）同理可证△ADM∽△BMN，
可得

AM

AD

=

BN

BM

即

AM

BC

=

BC+CN

AB-AM

代入数值得y=-

1

3

x2+

10

3

x-3（0＜x＜1）．

点评：本题主要考查相似三角形的判定及性质，涉及到二次函数知识点，考查学生综合知识的运用及综合解题的能力．