Question

【题目】如图所示，在△ABD中，BC为AD边上的高线，tan∠BAD＝1，在BC上截取CG＝CD，连结AG，将△ACG绕点C旋转，使点G落在BD边上的F处，A落在E处，连结BE，若AD＝4，tanD＝3，则△CFD和△ECF的面积比为___；BE长为____．

Answer 1

【答案】1：5， ．

【解析】

作CM⊥DF于M，则∠CMD＝90°，由已知得出∠BCD＝∠ACB＝90°，AC＝BC，BC＝3CD，求出CD＝1，AC＝BC＝3，证明△CDM∽△BDC，，得出，证明△AGC≌△BDC，得出∠CAG＝∠CBD，△AGC的面积＝△BDC的面积，∠CAG＝∠CBD，由旋转的性质得：CF＝CD，EC＝AC＝BC，∠CEF＝∠CAG，∠BCF＝∠ACN，得出△CDF的面积＝2△CDM的面积，求出△CFD的面积：△ECF的面积＝1：5；证明△ACN≌△BCF，得出AN＝BF，CN＝CF＝CD＝CG＝1，GN＝DF，证明△CGN∽△CBE，得出，在Rt△DCM中，求出DM＝，得出DF＝2DM＝，代入计算即可．

作CM⊥DF于M，如图所示：

则∠CMD＝90°，

∵在△ABD中，BC为AD边上的高线，tan∠BAD＝1，

∴∠BCD＝∠ACB＝90°，AC＝BC，

在Rt△BCD中，∵tanD＝3＝，

∴BC＝3CD，

∵AD＝AC+CD＝BC+CD＝4，

∴CD＝1，AC＝BC＝3，

∵∠CMD＝∠BCD，∠D＝∠D，

∴△CDM∽△BDC， ，

∴，

在△AGC和△BDC中，，

∴△AGC≌△BDC（SAS），

∴∠CAG＝∠CBD，△AGC的面积＝△BDC的面积，∠CAG＝∠CBD，

由旋转的性质得：CF＝CD，EC＝AC＝BC，∠CEF＝∠CAG，∠BCF＝∠ACN，

∴△CDF的面积＝2△CDM的面积，

∴△CFD的面积：△ECF的面积＝1：5；

∵CG＝CD，

∴CG＝CF，

在△ACN和△BCF中，，

∴△ACN≌△BCF（ASA），

∴AN＝BF，CN＝CF＝CD＝CG＝1，

∴GN＝DF，BC：CG＝CE：CN，

∵∠GCN＝∠BCE，

∴△CGN∽△CBE，

∴，

在Rt△DCM中，tanD＝3，CD＝1，

∴DM＝，

∵CD＝CF，CM⊥DF，

∴DF＝2DM＝，

∴GN＝，

∴＝，

解得：BE＝；

故答案为：1：5，．