解:(1)Rt△ABC中,由勾股定理得:AB=5cm;
则sin∠A=
;
由于BA切⊙O于E,则∠OEA=90°;
在Rt△OEA中,AO=OE÷sin∠A=
cm.
(2)如图;
①当P位于线段OC上时,设⊙P与CD的切点为G,则P
1G⊥CD;
由于D是AB的中点,所以CD=DA,即∠DCA=∠A,
因此P
1C=OA=
cm,OP
1=AC-2OA=
cm,
∴t=
s;
②当P位于线段CB上时,设⊙P与CD的切点为H,则P
2H⊥CD;
同①可得:P
2C=
cm,因此P点运动的距离为:
OC+P
2C=
+
=
cm,即t=
s;
③当P位于线段BD上时,P
3M⊥CD,过B作BQ⊥CN于Q;
易知:S
△ABC=6cm
2,由于D是AB中点,则S
△BCD=3cm
2;
而CD=
AB=
cm,可求得CD边上的高为:BQ=
cm;
易知:△PDM∽△BDQ,则
,即
,P
3D=
cm;
因此P
3B+BC+OC=
cm,即t=
s;
④当P位于线段AD上时,同③可求得t=
s;
综上可知:当t分别为
s、
s、
s、
s时,⊙P与直线CD相切.
分析:(1)在Rt△ABC中,易得∠A的正弦值,进而可在Rt△AOE中,根据OE的长求得OA的值.
(2)当⊙P与CD相切时,一共有四个时间点:
①当P在线段AC上与CD相切时,过P作CD的垂线,设垂足为G,由于D是AB中点,易知∠DCA=∠A,因此根据∠A的正弦值即可得PC的值,进而可求得OP的长,即可得t的值;
②当P在线段BC上且与CD相切时,解法同①;
③当P在线段BD上与CD相切时,过P作CD的垂线,设垂足为M;那么关键是求出PD的长,过P作PQ⊥CD于Q,易得△ABC的面积,由于D是AB中点,则△BCD的面积是△ABC面积的一半,那么可根据△BCD的面积来求得BQ的长,进而根据△PDM∽△BDQ来得到DP的长,从而求得BP+BC+OC的值,即可得t的值;
④当P在线段AD上与CD相切时,解法同③.
点评:此题主要考查的知识点是切线的性质,还涉及到解直角三角形、相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识,综合性强,要注意(2)题中分类讨论思想的运用,不要漏解.