Question

19．已知a≠b，且满足a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，求$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{{b}^{2}+1}$的值为1．

Answer 1

分析 当a≠b时，a、b可看作方程x²-3x+1+0的两个实数根，根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=1，再变形，然后利用整体代入的方法进行计算．

解答 解：∵a≠b，且满足a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，
∴a、b可看作方程x²-3x+1+0的两个实数根，
∴a+b=3，ab=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{{b}^{2}+1}$=$\frac{{b}^{2}+1+{a}^{2}+1}{（{a}^{2}+1）（{b}^{2}+1）}$
=$\frac{（a+b）^{2}-2ab+2}{（ab）^{2}+（a+b）^{2}-2ab+1}$
=$\frac{9-2+2}{1+9-2+1}$
=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．