Question

已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．

Answer 1

解：（1）由题意，得。
当y=48时，=48，解得：x₁=12，x₂=8。
∴面积为48时BC的长为12或8。
（2）∵，
∴当x=10时，y_最大=50。
（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形。理由如下：
由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10。
过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，连接A′B，AB′，

则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB，
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，
当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：
△ABC的周=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时
△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，
因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小。
这时由作法可知：BB′=20，∴。
∴△ABC的周长= +10。
因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为+10。

试题分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y=48时代入解析式就可以求出其值；
（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值。
（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值。