Question

观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3．
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：______．|x-（-1）|=|x+1|；
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为______；
（3）结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为______，取得最小值时x的取值范围为______；
（4）满足|x+1|+|x+4|＞3的x的取值范围为______．

Answer 1

解：（1）由观察可知：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；
（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．

当x＜-1时，距离为-x-1，

当-1＜x＜0时，距离为x+1，

当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
（3）当x＜-3时，|x-2|+|x+3|=2-x-（3+x）=-2x-1，此时最小值大于5；
当-3≤x≤2时，|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5；
当x＞2时，|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1，此时最小值大于5；
所以|x-2|+|x+3|的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2；
（4）由分析借助数轴，我们可以得到正确答案：x＜-4或x＞-1．
分析：（1）直接借助数轴可以得出；
（2）点B表示的数为-1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置．那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置．那么，如何求出A与B两点间的距离呢？
结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．

当x＜-1时，距离为-x-1，

当-1＜x＜0时，距离为x+1，

当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
（3）|x-2|即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离．|x+3|=|x-（-3）|即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离． 借助数轴，我们可以得到正确答案；
（4）同理|x+1|表示数轴上x与-1之间的距离，|x+4|表示数轴上x与-4之间的距离．本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3．借助数轴，我们可以得到正确答案：x＜-4或x＞-1．
点评：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题．