Question

18．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，如图所示建立平面直角坐标系．
（1）求经过点A、B、C的抛物线的解析式；
（2）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S，求S等于多少时，相应的点P有且只有2个？
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由射影定理可得出B点坐标，进而利用勾股定理得出B，C点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）过P作x轴的垂线，交AC于Q，交x轴于H；设出点P的横坐标（设为m），根据抛物线和直线AC的解析式，即可表示出P、Q的纵坐标，从而可得到PQ的长，然后分两种情况进行讨论：
①P点在第一象限时，即0＜m＜8时，可根据PQ的长以及A、C的坐标，分别表示出△APQ、△CPQ的面积，它们的面积和即为△APC的面积，由此可得到S的表达式，通过配方即可得到S的取值范围；
②当P在第二象限时，即-2≤m＜0时，同①可求得△APQ、△CPQ的面积，此时它们的面积差为△APC的面积，同理可求得S的取值范围；根据两个S的取值范围，即可判断出所求的结论；
（3）分别利用：①当BQ=QC时，②当BC=CQ₁时，③当BQ₃=BC时，结合勾股定理求出答案．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，
∴BC=10，
∴AO=$\frac{2\sqrt{5}×4\sqrt{5}}{10}$=4，
则BO=2，故CO=8，
即B（-2，0），C（8，0），A（0，4），
设经过点A、B、C的抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-8），
则4=a（0+2）（0-8），
解得：a=-$\frac{1}{4}$，
故y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，

（2）设直线AC对应的函数解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC对应的函数解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4，
如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；
设P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），则Q（m，-$\frac{1}{2}$m+4）．
①当0＜m＜8时，
PQ=（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）-（-$\frac{1}{2}$m+4）=-$\frac{1}{4}$m²+2m，
S=S_△APQ+S_△CPQ=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；
②当-2≤m＜0时，
PQ=（-$\frac{1}{2}$m+4）-（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）=$\frac{1}{4}$m²-2m，
S=S_△CPQ-S_△APQ=$\frac{1}{2}$×8×（$\frac{1}{4}$m²-2m）=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20；
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2≤m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，-2≤m＜0中m只有一个值；
当S=16时，m=4或m=4-4$\sqrt{2}$这两个．
故当S=16时，相应的点P有且只有两个；

（3）如图2所示：①当BQ=QC时，∵B（-2，0），C（8，0），
∴Q点横坐标为：3，
则y=-$\frac{1}{2}$×3+4=$\frac{5}{2}$，
故此时Q点坐标为：（3，$\frac{5}{2}$），
②当BC=CQ₁时，
设Q₁（x，-$\frac{1}{2}$x+4），
过点Q₁D⊥x轴于点D，
则DC=x-8，DQ₁=-$\frac{1}{2}$x+4，
故DC²+Q₁D²=Q₁C²，
期（x-8）²+（-$\frac{1}{2}$x+4）²=100，
解得：x₁=8+4$\sqrt{5}$，x₂=8-4$\sqrt{5}$，
故y=-2$\sqrt{5}$，或y=2$\sqrt{5}$，
可得Q₁（8+4$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$），Q₂（8-4$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）；
③当BQ₃=BC时，
同理可得：Q₃F=-$\frac{1}{2}$x+4，FB=2-x，
故（2-x）²+（-$\frac{1}{2}$x+4）²=100，
解得：x₁=8（不合题意舍去），x₂=-8，
则y=8，
故Q₃（-8，8），
综上所述：使△QBC为等腰三角形的所有符合条件的点Q的坐标分别为：（3，$\frac{5}{2}$），（8+4$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$），（8-4$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），（-8，8）．

点评 此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确利用分类讨论分析是解题关键．