Question

【题目】二次函数的图象经过点（﹣1，4），且与直线相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，MN和NC互相垂直平分．

【解析】

（1）先求得A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；

（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．

（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），根据题意得：

解得，则二次函数的解析式是；

（2）设N()，则M、P的坐标分别为，，∴MN=PN-PM=，则当时，MN的最大值为；

(3)连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即，且，解得，故当时，MN和NC互相垂直平分．