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    9．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．
    （1）当点N落在边BC上时，求t的值．
    （2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．
    （3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．
    （4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．

    分析 （1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；
    （2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；
    （3）当$0＜t≤\frac{3}{5}$时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当$\frac{3}{5}＜t≤\frac{3}{2}$时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．
    （4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时$\frac{3}{5}$＜t＜$\frac{12}{5}$，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．

    解答 解：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，
    ∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．
    ∴DQ=3
    ∴2t=3．
    ∴t=$\frac{3}{2}$；  
                                                                
    （2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，
    ∴PD=DQ，
    当0＜t＜$\frac{3}{2}$时，
    此时，PD=t，DQ=2t
    ∴t=2t
    ∴t=0（不合题意，舍去），
    当$\frac{3}{2}$≤t＜3时，
    此时，PD=t，DQ=6-2t
    ∴t=6-2t，
    解得t=2；      
    综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；
                                                         
    （3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t
    当点M在BC边上时，
    ∴MN=BQ
    ∵PQ=MN=3t，BQ=3-2t
    ∴3t=3-2t
    ∴解得t=$\frac{3}{5}$
    如图①，当$0＜t≤\frac{3}{5}$时，
    S△PNQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$PQ2=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$t2；
    ∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$t2，
    如图②，当$\frac{3}{5}＜t≤\frac{3}{2}$时，
    设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，
    ∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3-2t，
    ∴ME=MN-NE=PQ-BQ=5t-3，
    ∵△EMF是等边三角形，
    ∴S△EMF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ME2=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5t-3）2
    $S={S_{菱形PQMN}}-{S_{△MEF}}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}{t^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（5t-3）^2}$．$S=-\frac{{7\sqrt{3}}}{4}{t^2}+\frac{{15\sqrt{3}}}{2}t-\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$；                                           

    （4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，
    此时，$\frac{3}{5}$＜t＜$\frac{12}{5}$，
    t=1或$t=\frac{15}{7}$．

    点评 本题考查等边三角形与菱形的性质，涉及到等边三角形的性质与面积公式，平行四边形和菱形的性质与面积公式，解方程等知识，综合程度较高，需要学生将各知识点灵活结合．

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