分析 首先证明△ACE≌△DCB,再证明PC平分∠APB,且∠APB=90°,作△APB的外接圆,延长PC交△APB的外接圆于点Q,可以发现当PQ⊥AB时,PC最大.
解答 解:如图,∵△ACD与△BCE都为等边三角形,
∴AC=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB,
在△ACE和△DCB中,
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$,
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴AE=BD;
过C作CG⊥AE,CH⊥BD,
∵△ACE≌△DCB,
∴S△ACE=S△DCB,即$\frac{1}{2}$AE•CG=$\frac{1}{2}$BD•CH,
∵AE=BD,
∴CG=CH,
∴KC平分∠AKB,∵∠CDB=∠EAC,
∴∠ACP=∠DPA=60°,
∴∠APB=120°,∠APQ=∠BPQ=60°,
作△APB的外接圆,延长PC交△APB的外接圆于Q,
∵∠APB=120°是定值,∠APQ=∠BPQ=60°,
∴QA=QB,点Q是定点,
∴当PQ⊥AB时,PC的长最大,
此时PA=PB,AC=BC,PC=AC•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$.
故答案为$\sqrt{3}$.
点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外接圆等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用辅助圆解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 任何有理数都有倒数 | B. | 前面带“-”号的数一定是负数 | ||
C. | 上升5米,再下降3米,实际上升2米 | D. | 一个数不是正数就是负数 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | y1>y2>y3 | B. | y1>y3>y2 | C. | y2>y3>y1 | D. | y3>y1>y2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 3 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{AE}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$ | B. | ∠AED=∠B | C. | $\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$ | D. | ∠ADE=∠C |
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