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7.如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:
①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ•AC,
其中正确的结论的个数是①②③④.

分析 由正方形的性质得出∠FAD=90°,AD=AF=EF,证出∠CAD=∠AFG,由AAS证明△FGA≌△ACD,得出AC=FG,①正确;
证明四边形CBFG是矩形,得出S△FAB=$\frac{1}{2}$FB•FG=$\frac{1}{2}$S四边形CBFG,②正确;
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°,③正确;
证出△ACD∽△FEQ,得出对应边成比例,得出D•FE=AD2=FQ•AC,④正确.

解答 解:∵四边形ADEF为正方形,
∴∠FAD=90°,AD=AF=EF,
∴∠CAD+∠FAG=90°,
∵FG⊥CA,
∴∠GAF+∠AFG=90°,
∴∠CAD=∠AFG,
在△FGA和△ACD中,$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠C}\\{∠AFG=∠CAD}\\{AF=AD}\end{array}\right.$,
∴△FGA≌△ACD(AAS),
∴AC=FG,①正确;
∵BC=AC,
∴FG=BC,
∵∠ACB=90°,FG⊥CA,
∴FG∥BC,
∴四边形CBFG是矩形,
∴∠CBF=90°,S△FAB=$\frac{1}{2}$FB•FG=$\frac{1}{2}$S四边形CBFG,②正确;
∵CA=CB,∠C=∠CBF=90°,
∴∠ABC=∠ABF=45°,③正确;
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90°,
∴△ACD∽△FEQ,
∴AC:AD=FE:FQ,
∴AD•FE=AD2=FQ•AC,④正确;
故答案为:①②③④.

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

17.阅读理解
因为(a+$\frac{1}{a}$)2=a2+2a•$\frac{1}{a}$+($\frac{1}{a}$)2=a2+$\frac{1}{a^2}$+2,①
因为${(a-\frac{1}{a})^2}={a^2}-2a•\frac{1}{a}+{(\frac{1}{a})^2}={a^2}+\frac{1}{a^2}$-2②
所以由①得:a2+$\frac{1}{a^2}={(a+\frac{1}{a})^2}$-2,由②得:a2+$\frac{1}{a^2}={(a-\frac{1}{a})^2}$+2
所以a4+$\frac{1}{a^4}={({a^2}+\frac{1}{a^2})^2}$-2
试根据上面公式的变形解答下列问题:
(1)已知a+$\frac{1}{a}$=2,则下列等式成立的是C
①a2+$\frac{1}{a^2}$=2;   ②a4+$\frac{1}{a^4}$=2;  ③a-$\frac{1}{a}$=0;    ④${(a-\frac{1}{a})^2}$=2;
A.①;         B.①②;      C.①②③;     D.①②③④;
(2)已知a+$\frac{1}{a}$=-2,求下列代数式的值:
①a2+$\frac{1}{a^2}$;               ②${(a-\frac{1}{a})^2}$;                ③a4+$\frac{1}{a^4}$.

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18.用公式法解方程:x(2x-4)=8x-5.

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15.如图,抛物线y=ax2+bc+c(a>0)的顶点为M,若△MCB为等边三角形,且点C,B在抛物线上,我们把这种抛物线称为“完美抛物线”,已知点M与点O重合,BC=2.
(1)求过点O、B、C三点完美抛物线y1的解析式;
(2)若依次在y轴上取点M1、M2、…Mn分别作等边三角形及完美抛物线y1、y2、…y3,其中等边三角形的相似比都是2:1,如图,n为正整数.
①则完美抛物线a,y2=2$\sqrt{3}$x2+$\sqrt{3}$,完美抛物线y3=4$\sqrt{3}$x2+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$;完美抛物线yn=2n-1$\sqrt{3}$x2+$\frac{{2}^{n-1}-1}{{2}^{n-2}}$$\sqrt{3}$;
②直接写出Bn的坐标;
③判断点B1、B2、…、Bn是否在同一直线,若在,求出直线的解析式,若不在同一直线上,说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:填空题

2.计算:3×($\frac{2016-\sqrt{201{6}^{2}-12×2017}}{2×3}$)2-2016×$\frac{2016-\sqrt{201{6}^{2}-12×2017}}{2×3}$=-2017.

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12.计算:$(\sqrt{2}+2\sqrt{12}-\sqrt{3})×2\sqrt{3}$.

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19.用适当方法解方程:
(1)(3x-2)2-125=0.
(2)(x-2)(2x-3)-2(x-2)=0.
(3)(3x-1)(x+1)=4.
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17.(1)已知:如图1,P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点,CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线,试探究:当点P在斜边AB上移动时,∠DCE的大小是否会发生变化,请说明你的理由.
(2)把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上,点A和点B在直线MN的上方(如图2),此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN=90°;当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方,点B仍然在直线MN的上方时(如图3),∠ACM与∠BCN的数量关系是∠BCN-∠ACM=90°;当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时(如图4),∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN=270°.

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