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    1．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax2+bx上运动，斜边AB垂直于y轴，且AB=8，∠ABC=60°，当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时，B点坐标是（-3，0），A点恰在抛物线y=ax2+bx上
    （1）求AB边上的高线CD的长；
    （2）求抛物线解析式；
    （3）Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当这两部分的面积之比为1：2时，求顶点C的坐标．

    分析 （1）根据直角三角形两锐角互余求出∠A=∠BCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、BD，再利用勾股定理列式计算即可得解；
    （2）根据点B的坐标和AB的长度求出点A的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
    （3）设AC、AB与y轴的交点分别为E、F，再分两种情况，利用三角形AEF的面积求出AF，再表示出DF，得到点C的横坐标，再根据点C在抛物线上，把点C的横坐标代入抛物线求解得到点C的纵坐标即可得解．

    解答 解：（1）过点C作CD⊥AB于D，
    在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=60°，
    ∴∠A=30°，
    ∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，AC=4$\sqrt{3}$，
    在Rt△BCD中，∠ABC=60°，
    ∴∠ABC=60°，
    ∴∠BCD=30°，
    ∵BC=4，
    ∴BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
    即：AB边上的高线CD的长为2$\sqrt{3}$；
    （2）由（1）知，BD=2，
    ∵AB=8，B（-3，0），
    ∴A（5，0），
    ∴C的横坐标为-1，
    ∴C（-1，2$\sqrt{3}$），
    ∵A（5，0），C（-1，2$\sqrt{3}$）恰在抛物线y=ax2+bx上，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=0}\\{a-b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$，
    （3）由（1）知，BC=4，AC=4$\sqrt{3}$，
    ∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=8$\sqrt{3}$，
    ∴$\frac{1}{3}$S△ABC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
    由（1）知，BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
    ∴S△BCD=$\frac{1}{2}$BD•CD=2$\sqrt{3}$，
    ∴$\frac{1}{3}$S△ABC＞S△BCD，
    ∵Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当这两部分的面积之比为1：2时，y轴只能和AC、AB相交，设△ABC的边AC、AB与y轴相交于E，F，
    在Rt△AEF中，∠A=30°，
    ∴EF=AFtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，
    ∴S△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AF2，
    ①当S△AEF=$\frac{1}{3}$S△ABC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
    ∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$AF2=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
    ∴AF=4，
    ∵AD=AB-BD=6，
    ∴C点的横坐标为-2，
    ∵点C在抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$上，
    ∴点C的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{3}×4-\frac{5\sqrt{3}}{3}×（-2）$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，
    ∴C（-2，$\frac{14\sqrt{3}}{3}$），
    ②当S△AEF=$\frac{2}{3}$S△ABC=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
    ∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$AF2=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
    ∴AF=4$\sqrt{2}$，
    ∵AD=AB-BD=6，
    ∴C点的横坐标为4$\sqrt{2}$-6，
    ∵点C在抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$上，
    ∴点C的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{3}×（4\sqrt{2}-6）^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}（4\sqrt{2}-6）$=$\frac{98\sqrt{3}-68\sqrt{6}}{3}$，
    ∴C（4$\sqrt{2}$-6，$\frac{98\sqrt{3}-68\sqrt{6}}{3}$）．
    即：满足条件的点C的坐标为$（{-2\;，\;\;\frac{{14\sqrt{3}}}{3}}）$，$（{4\sqrt{2}-6\;，\;\;\frac{{98\sqrt{3}}}{3}-\frac{{68\sqrt{6}}}{3}}）$．

    点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，勾股定理的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，（2）表示出点C的横坐标是解题的关键，（3）难点在于利用三角形的面积求出点A到y轴的距离，即AF的长度．

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    12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（0，-1），点C（m，0）是x轴上的一个动点．
    （1）如图1，点B在第四象限，△AOB和△BCD都是等边三角形，点D在BC的上方，当点C在x轴上运动到如图所示的位置时，连接AD，请证明△ABD≌△OBC；
    （2）如图2，点B在x轴的正半轴上，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，点D在AC的上方，∠D=90°，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点D的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数表达式．

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    9．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB边上的中线．
    （1）CD=$\frac{1}{2}$AB；
    （2）若CG=EG，求证：DG⊥CE．

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    13．在四边形ABCD中，AB∥CD，当满足什么条件时，四边形ABCD是平行四边形（　　）
    A．∠A+∠B=180°B．∠B+∠D=180°C．∠B+∠C=180°D．∠A+∠B=180°

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    10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}$ax2-2ax（a＞0）与x轴正半轴交于点A，点B是抛物线的顶点，矩形CDEF的顶点D、E在x正半轴上，C、F在抛物线上，且点D的横坐标为1，连结BC、BF，以BC为斜边向右侧作等腰直角三角形BCG
    （1）求点B的坐标（用含a的代数式表示）
    （2）当矩形CDEF为正方形时，求此抛物线所对应的函数表达式
    （3）当点G在抛物线对称轴上时，求此抛物线所对应的函数表达式
    （4）直接写出点G在五边形BCDEF边所在的直线上时a的值．

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    11．在平面直角坐标系中
    （1）取点M（1，0），则点M到直线l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；取直线y=$\frac{1}{2}$x+2与直线l平行，则两直线距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
    （2）已知点P为抛物线y=x2-4x的x轴上方一点，且点P到直线l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为2$\sqrt{5}$，求点P的坐标．
    （3）若直线y=kx+m与抛物线y=x2-4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB=90°，求点P（2，0）到直线y=kx+m的距离的最大时直线y=kx+m的解析式．

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