Question

一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．
按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．（用具体的数字作答）

Answer 1

分析：先求出2，3，4，2006中有1002个奇数，有1003个偶数，再分裁判擦去的数是奇数或偶数两种情况讨论，①若裁判擦去的是奇数，则乙不管甲取什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数；
②若裁判擦去的数是偶数，设裁判擦去的数是2m，则将所剩的数配成1002对，再进行解答．

解答：解：由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数．注意到2，3，4，2006中有1002个奇数，有1003个偶数；
（1）若裁判擦去的是奇数，此时乙一定获胜．
乙不管甲取什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜；（10分）
（2）若裁判擦去的数是偶数，此时甲一定获胜．
设裁判擦去的数是2m，则将所剩的数配成1002对：（2，3），（2m-2，2m-1），（2m+1，2m+2），（2005，2006）．
这样，不管乙取哪一个数，甲就去所配数对中的另一个数，这样最后剩下的两数必然互质，故甲胜．（20分）
所以，甲获胜的概率为

1003

2005

．（25分）
故答案为：

1003

2005

．

点评：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想进行解答是解答此题的关键．