【题目】在平面直角坐标系中,的边在轴上,点,线段,线段,且,与轴的交点为,连接.
(1)如图1,在线段上有两个动点(在上方),且,点为中点,点为线段上一动点,当的值最小时,求出的坐标及的面积.
(2)沿轴平移,当点平移到边上时,平移后的,在轴上一动点,在平面直角坐标系内有一动点,使点形成的四边形为菱形,若存在直接写出点的坐标,若不存在说明理由.
【答案】(1)P(,-3),的面积=2;(2)(12,-2)或(8,2)或(8+4,-2)
【解析】
(1)先根据直角三角形的性质求出OE=2,由勾股定理得BE=4,得出∠ABE=30°,∠EBC=90°,作点F关于EB的对称点H,过H作HP⊥CD于P,交BE于K,交AB于M,则KH=KF,HP的长即KF+KP 的最小值,此时的值最小,由(在上方),且可得出此时点G于点B重合,根据直角三角形的性质求出HP、HM、HK、MK、MG的长,即可解答本题;
(2)沿轴平移,当点平移到边上时,平移后的中与B重合,分三种情况:①为对角线时,②为对角线时,③为对角线时,分别画出图形,利用菱形的性质,直角三角形的性质等知识一一求解即可.
解:(1)由题意得OA=2,则OB=6,
∵,
∴∠AEO=30°,OE=2,
Rt△OBE中,BE==4,
∴∠ABE=30°,
∵,,
∴∠ABC=180°-∠BAD =120°,∠C=60°,AD=BC=6
∴∠EBC=90°,EB⊥BC,
作点F关于EB的对称点H,过H作HP⊥CD于P,交BE于K,交AB于M,则KH=KF,HP的长即KF+KP 的最小值,此时的值最小,
∵ HP⊥CD,∠C=60°
∴∠H=30°
∵点为中点,BC=6,点F关于EB的对称点H,
∴HG=3,CH=9,
在Rt△CPH,Rt△HBK,Rt△HBM中,
HP=,,KH=2,BM=,HM=,
∴MP=HP-HM=3,OM=OB-BM=,MK=HK-HM=,
∴P的坐标(,-3);
∵线段上有两个动点(在上方),且,,
∴此时点G于点B重合,
∴的面积=AGKM=×8×=2;
胡答案为:P(,-3),的面积=2;
(2)①如图,为对角线时,作NH⊥AB与H,由题意得A1B1=8,E1B1=4,∠B1A1E1=60°,∠A1B1E1=30°,E1A1=4,
∵菱形
∴∠A1B1N=60°,∠A1ME1=∠MA1E1=60°,
∴ME1= A1E1=B1N=4,
∴HB1=2,HN=2,
∴OH=OB1-HB1=12,
∴点的坐标(12,-2);
②为对角线时,
∵菱形
∴∠E1B1N=60°,NE1=B1E1=4, HE1=HN=2,
∴HB1=6,
∴OH=OB1-HB1=8,
∴点的坐标(8,2);
为对角线时,作NH⊥AB与H,
由题意得∠B1MN=30°,MN=B1E1=B1M=4,
∴HM=6,HN=2,
∴B1H=4-6,
∴OH=OB1+HB1=14+(4-6)=8+4,
∴点的坐标(8+4,-2).
故点的坐标为:(12,-2)或(8,2)或(8+4,-2).
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【题目】已知点P,Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点,以点P为圆心且经过点Q作⊙P,则称点Q为⊙P的“关联点”,⊙P为点Q的“关联圆”.
(1)已知⊙O的半径为1,在点E(1,1),F(﹣,),M(0,-1)中,⊙O的“关联点”为______;
(2)若点P(2,0),点Q(3,n),⊙Q为点P的“关联圆”,且⊙Q的半径为,求n的值;
(3)已知点D(0,2),点H(m,2),⊙D是点H的“关联圆”,直线y=﹣x+4与x轴,y轴分别交于点A,B.若线段AB上存在⊙D的“关联点”,求m的取值范围.
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【题目】如图为K90的化学赛道,其中助滑坡AB长90米,坡角a=40°,一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡,某运动员在C点飞向空中,几秒之后落在着陆坡上的E处,已知着陆坡DE的坡度i=1: ,此运动员成绩为DE=85.5米,BD之间的垂直距离h为1米,则该运动员在此比赛中,一共垂直下降了( )米.(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.76,tan40°≈0.84,结果保留一位小数)
A. 101.4 B. 101.3 C. 100.4 D. 100.3
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点D是AB的中点,点E在边AC上,将△ADE沿DE翻折,使点A落在点A′处,当A′E⊥AC时,A′B=_________.
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【题目】已知:如图,在坐标平面内△ABC的顶点坐标分别为A(0,2),B(3,3),C(2,1),(正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度)
(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1,并直接写出点C1点的坐标;
(2)画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2,并直接写出C2点的坐标.
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【题目】(本小题满分8分)
如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为(),正六边形的边长为()cm(其中),求这两段铁丝的总长
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,若以点C为旋转中心,将△ABC旋转θ度到△DEC的位置,使点B恰好落在边DE上,则θ等于_____.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(﹣1,0),与y轴交于点C(0,3),作直线BC.动点P在x轴上运动,过点P作PM⊥x轴,交抛物线于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式;
(2)当点P在线段OB上运动时,若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时,求m的值;
(3)当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时,求m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点B、C都在第一象限内,CA⊥x轴,垂足为点A,反比例函数y1=的图象经过点B;反比例函数y2=的图象经过点C(,m).
(1)求点B的坐标;
(2)△ABC的内切圆⊙M与BC,CA,AB分别相切于D,E,F,求圆心M的坐标.
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