Question

12．将抛物线y₁=x²先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m，n均为非负数、且m，n不同时为0）得到抛物线y₂，抛物线y₁与y₂交点的横坐标为2．
（1）①请直接写出y₂的函数解析式（用含m，n的式子表示）；
②求n与m的等量关系式；
（2）两次平移距离之和能否为7？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由；
（3）当m为何值时，|m-n|最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）①根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线y₂的函数解析式；
②令抛物线y₁=x²中x=2，求出y值即可得出两抛物线的交点坐标，将其代入抛物线y₂的解析式中整理后即可得出n与m的等量关系式；
（2）假设能为7，将n=7-m代入n=4m-m²中得出关于m的一元二次方程，由该方程的判别式△＜0，可得出方程无解，由此即可得出假设不成了，即两次平移距离之和不能为7；
（3）将n=4m-m²代入|m-n|中，整理后得出|m-n|=|$（m-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$|，设m+n=a，将其代入n=4m-m²中，根据方程有解得出a的取值范围，再根据m，n均为非负数、且m，n不同时为0，即可得出m的取值范围，将m的最大值代入|m-n|=|$（m-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$|中，即可得出结论．

解答 解：（1）①∵将抛物线y₁=x²先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到抛物线y₂，
∴y₂=（x-m）²+n．
②令y₁=x²中x=2，则y₁=4，
∴抛物线y₁与y₂交点的坐标为（2，4），
∴4=（2-m）²+n，整理得：n=4m-m²．
（2）假设能，将n=7-m代入n=4m-m²中得m²-5m+7=0，
∵△=（-5）²-4×7=-3＜0，
∴关于m的一元二次方程m²-5m+7=0无解，
∴假设不成，故两次平移距离之和不能为7．
（3）|m-n|=|m-（4m-m²）|=|m²-3m|=|$（m-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$|．
设m+n=a，将n=a-m代入n=4m-m²中得m²-5m+a=0，
∵m有解，
∴△=（-5）²-4a≥0，
解得：a≤$\frac{25}{4}$．
∵m，n均为非负数、且m，n不同时为0，
∴m≤$\frac{25}{4}$，
∴当m=$\frac{25}{4}$时，|m-n|取最大值，最大值为$\frac{325}{16}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、平移的性质以及根的判别式，解题的关键是：（1）①根据平移的性质写出y₂的函数解析式；②将（2，4）代入y₂的函数解析式中找出m、n之间的关系；（2）利用反证法根据方程无解得出假设不成立；（3）根据关于m的方程有解结合根的判别式得出m的取值范围．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程有解找出m的取值范围是关键．