Question

已知：如图，AB=BC=CA=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC，CP交AH于P．求证：△ABC的面积S=

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AP•BD．

Answer 1

分析：因S_△ABC=

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BC²=

3

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AC•BC，只须证AC•BC=AP•BD，转化为证△APC∽△BCD．这由A、B、C、Q四点共圆易证（Q为BD与AH交点）．

解答：证明：记BD与AH交于点Q，则由AC=AD，AH⊥CD得∠ACQ=∠ADQ．
又AB=AD，故∠ADQ=∠ABQ．
从而∠ABQ=∠ACQ．可知A、B、C、Q四点共圆．
∵∠APC=90°+∠PCH=∠BCD，∠CBQ=∠CAQ，
∴△APC∽△BCD．
∴AC•BC=AP•BD．
于是，S=

3

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AC•BC=

3

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AP•BD．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及确定圆的条件，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法．