Question

已知：如图1，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K．
（1）求∠EKF的度数．（计算过程不准用三角形内角和）
（2）如图2，∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K₁，问∠K₁与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．
（3）在图2中作∠BEK₁、∠DFK₁的平分线相交于点K₂，作∠BEK₂、∠DFK₂的平分线相交于点K₃，依此类推，作∠BEK_n、∠DFK_n的平分线相交于点K_n+1，请用含的n式子表示∠K_n+1的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）

Answer 1

分析：（1）过K作KG∥AB，可得KG∥CD，可得出两对内错角相等，由EK与FK分别为角平平分线，利用角平分线定义得到两对角相等，再由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两对角互补，利用等式的性质求出∠BKE+∠DFK的度数，即可求出∠EKF的度数；
（2）∠K=2∠K₁，由∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K₁，利用角平分线定义得到两对角相等，等量代换求出∠K₁，进而确定出两角的关系；
（3）依此类推即可确定出∠K_n+1的度数．

解答：
解：（1）过K作KG∥AB，可得KG∥CD，
∴∠BEK=∠EKG，∠GKF=∠KFD，
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEK=∠FEK，∠EFK=∠DFK，
∵AB∥CD，
∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°，即2（∠BEK+∠DFK）=180°，
∴∠BEK+∠DFK=90°，
则∠EKF=∠EKG+∠GKF=90°；
（2）∠K=2∠K₁，理由为：
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K₁，
∴∠BEK₁=∠KEK₁，∠KFK₁=∠DFK₁，
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°，即2（∠BEK+∠KFD）=180°，
∴∠BEK+∠KFD=90°，即∠KEK₁+∠KFK₁=45°，
∴∠K₁=180°-（∠KEF+∠EFK）-（∠KEK₁+∠KFK₁）=45°，
则∠K=2∠K₁；
（3）归纳总结得：∠K_n+1=

1

2n+1

×90°．

点评：此题考查了平行线的性质，角平分线定义，属于探究型试题，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．