Question

在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处（如图1），绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2），设BE=x，CF=y。

（1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
（2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处（如图3），绕O点顺时针方向旋转，其他条件不变，
①试写出y与x的函数解析式，以及x的取值范围；
②将三角尺绕O点旋转（如图4）的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）线段AE与CF之间有相等关系
连接AO，如图2
∵，点O为BC的中点，
∴
∵，，
∴
∴
∴。
（2）①连接AO，如图4
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
在中，
点O为BC的中点
∴
∵
∴
即
∴
取值范围是：。
②能构成等腰三角形
当时，
当时，
时，
能构成等腰三角形。