Question

10．解方程：$\frac{{x}^{2}-1}{x}$+$\frac{x}{{x}^{2}-1}$=3．

Answer 1

分析 根据换元法，可得关于t的分式方程，根据解分式方程，可得t的值，根据解分式方程，可得答案．

解答 解：设$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=t，原方程等价于
t+$\frac{1}{t}$=3．
化简得
t²-3t+1=0．
解得t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，t=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
当t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
化简，得
2x²-（3+$\sqrt{5}$）x-1=0，
解得x₁=$\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{22+6\sqrt{5}}}{4}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{5}-\sqrt{22+6\sqrt{5}}}{4}$
当t=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时，$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
化简，得
2x²-（3-$\sqrt{5}$）x-1=0，
解得x₃=$\frac{3-\sqrt{5}+\sqrt{22-6\sqrt{5}}}{4}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{5}-\sqrt{22-6\sqrt{5}}}{4}$，
经检验：x₁=$\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{22+6\sqrt{5}}}{4}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{5}-\sqrt{22+6\sqrt{5}}}{4}$，x₃=$\frac{3-\sqrt{5}+\sqrt{22-6\sqrt{5}}}{4}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{5}-\sqrt{22-6\sqrt{5}}}{4}$是原方程的解．

点评 本题考查了解分式方程，换元法是解题关键，注意解分式方程要检验方程的根．