Question

19．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的边AC在x轴上，tanA=$\frac{1}{2}$，∠ACB=90°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D，与AB边交于点E，点D，E的横坐标分别为4，2．△BDE的面积为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，如果△AEO与△EFP相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设D的纵坐标是m，E的纵坐标是n，则将D（4，m）、E（2，n）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$解析式，进而得出n，m的关系；
（2）利用△BDE的面积为2，得出m的值，进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可，利用△AEO与△EFP 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．

解答 解：（1）设D的纵坐标是m，E的纵坐标是n，∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴4m=k，2n=k，
整理，得n=2m；
（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A=$\frac{1}{2}$，EH=2，所以BH=1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面积为2，
∴$\frac{1}{2}$BD•EH=$\frac{1}{2}$（m+1）×2=2，
所以解得m=1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因为点D（4，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
所以k=4．
因此反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$．
 （2）设直线AB的解析式为y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$
因此直线AB的函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1．

如图2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，
当△BED∽△BPC时，$\frac{BE}{BP}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{BF}{BH}$=$\frac{2}{3}$，∵BF=1，∴BH=$\frac{3}{2}$，
∴CH=$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$x+1，x=1，
点P的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）；

如图3，当△BED∽△BPC时，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{BP}$，
EH=2，BH=1，由勾股定理，BE=$\sqrt{5}$，
$\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{2}{BP}$，BP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{BF}{BH}$=$\frac{BE}{BP}$，BF=1，BH=$\frac{6}{5}$，
∴CH=$\frac{9}{5}$，$\frac{9}{5}$=$\frac{1}{2}$x+1，x=$\frac{8}{5}$，
点P的坐标为（$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$）

点P的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）；（$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$）

点评 本题主要考查的是反比例函数的综合应用以及待定系数法求出一次函数解析式和相似三角形的判定等知识，根据已知得出两个三角形相似包括两种情况是解题关键．